[논문 리뷰] The period-index problem in WC-groups II: abelian varieties

Pete L. Clark|ArXiv.org|2004. 06. 08.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 24인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 수체수 및 p진체 위의 아벨 다양체에 대한 주형 동차 공간의 주기-지수 문제를 조사하며, 차원 $ g $인 아벨 다양체에서 소수 $ p $의 순서를 가진 토르스의 지수는 $ p^g $에 이르기까지 클 수 있음을 입증한다. 이는 캐슬스와 리히텐바움의 고전적 결과를 고차원으로 확장하며, 오닐의 주기-지수 장벽의 아벨 다양체 버전을 사용하여, 유계 차수의 확장에서 샤파레비치-타이트 군의 $ p $- torsion 이 임의로 커질 수 있음을 증명한다.

ABSTRACT

We study the relationship between the period and the index of a principal homogeneous space over an abelian variety, obtaining results which generalize work of Cassels and Lichtenbaum on curves of genus one. In addition, we show that the p-torsion in the Shafarevich-Tate group of a fixed abelian variety over a number field k grows arbitrarily large when considered over field extensions l/k of bounded degree. Essential use is made of an abelian variety version of O'Neil's period-index obstruction.

연구 동기 및 목표

• 이전에 타원곡선에서 알려진 주기-지수 문제에 대한 고전적 결과를 고차원 아벨 다양체로 일반화하기 위해.
• 수체 및 p진체 위에서 소수 주기 $ p $와 지수 최소 $ p^g $를 가진 주형 동차 공간의 존재를 확립하기 위해.
• 유계 차수의 확장에서 샤파레비치-타이트 군의 $ p $- torsion 이 어떻게 증가하는지 분석하기 위해.
• 토르스의 분할 체를 연구하기 위해 오닐의 주기-지수 장벽의 아벨 다양체 버전을 개발하고 적용하기 위해.
• 특히 주로 극적 표준화된 아벨 다양체의 맥락에서, 지수에 대한 주기와 차원을 바탕으로 명시적인 상한을 제공하기 위해.

제안 방법

• 오닐의 주기-지수 장벽을 아벨 다양체에 적응시키며, 갈루아 코hom로지와 $ A[p] $ 가 갈루아 모듈로서 갖는 구조를 사용한다.
• p진체 위의 아벨 다양체의 해석적 균일화에 관한 게르티센의 결과를 적용하여 분할 체 조건을 도출한다.
• 스칼라의 제한을 사용하여 p진체에서의 결과를 수체 및 무분할 확장으로 확장한다.
• 웨일 쌍형과 갈루아 표현 이론을 사용하여 유한 확장에서 $ A[p] $ 와 $ NS(A) $ 를 자명화한다.
• 유한체 $ \mathbb{Z} $ 위의 $ GL_N $ 의 유한부분군에 대한 상한을 적용하여, 갈루아 작용이 네론-세베르 기수군에 작용하는 데 필요한 확장의 차수를 통제한다.
• 이러한 기법들을 조합하여 $ H^1(k,A)[n] $ 내 토르스의 지수에 대한 균일한 상한을 도출하며, 특정 조건 하에서 지수가 $ (g!)n^g $ 를 나누게 됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수체 및 p진체 위의 고차원 아벨 다양체로 타원곡선에 대한 주기-지수 문제를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 수체 또는 p진체 위의 $ g $-차원 아벨 다양체에서 소수 주기 $ p $를 가진 주형 동차 공간의 최대 가능한 지수는 무엇인가?
• RQ3 유계 차수의 확장에서 샤파레비치-타이트 군의 $ p $- torsion 이 어떻게 증가하는가?
• RQ4 특히 브라우어 군이 자명한 체에서 고차원 아벨 다양체에서 주기와 지수가 어느 정도 일치하는가?
• RQ5 오닐의 주기-지수 장벽의 아벨 다양체 버전이 토르스의 분할 체의 차수를 제한하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ g \to \text{양의 정수} $ 와 소수 $ p $ 에 대해, 충분히 큰 p진체 또는 수체 위에서 $ g $-차원 아벨 다양체 $ A/k $ 와 주기 $ p $ 를 가진 토르스 $ V \to A $ 가 존재하며, 이들의 지수는 최소 $ p^g $ 이상이다.
• p진체에서, $ n $ 이 홀수 이거나 $ A[n] $ 이 라그랑주 갈루아 모듈로면, $ H^1(k,A)[n] $ 내 토르스의 지수는 $ (g!)n^g $ 이하로 유계된다.
• 수체 또는 p진체의 무분할 확장에서, 유사한 조건 하에 동일한 상한이 성립하며, 체의 크기에 대한 명시적 상한이 존재한다.
• 고정된 수체 위의 아벨 다양체에서, 유계 차수의 확장으로 갈 때 샤파레비치-타이트 군의 $ p $- torsion 이 임의로 커진다.
• 아벨 다양체의 네론-세베르 기수군은 최대 $ \#GL_{4d^2}(\mathbb{F}_3) $ 차수의 확장에서 자명화될 수 있으며, 이는 분할 장벽을 통제할 수 있게 한다.
• p진체에서 $ p > g $ 이면, $ i \mid (g!)n^g $ 의 상한은 거의 최적이며, 본 논문은 일반적으로 이 성질이 성립한다고 추측한다.