[논문 리뷰] The phylogenetic Kantorovich-Rubinstein metric for environmental sequence samples

Steven N. Evans, Frederick A. Matsen|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 10.

Gene expression and cancer classification인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 환경 미생물 시퀀스 샘플 간의 가중치가 부여된 UniFrac 거리가 계통발생수 나무 위에서의 잘 알려진 최적 운반 거리인 계통발생수 Kantorovich-Rubinstein (KR) 거리와 동일하다는 것을 입증한다. 이 거리는 나무 위에서의 적분으로 계산될 수 있으며, L^p Zolotarev 유형의 거리로 일반화될 수 있고, 가우시안 프로세스 기반 기능을 사용하여 순열 검정의 p-값에 대한 계산 가능한 근사치를 제공한다. 특히 L^2 경우는 카이제곱 분포의 선형 조합과 연결된다.

ABSTRACT

Using modern technology, it is now common to survey microbial communities by sequencing DNA or RNA extracted in bulk from a given environment. Comparative methods are needed that indicate the extent to which two communities differ given data sets of this type. UniFrac, a method built around a somewhat ad hoc phylogenetics-based distance between two communities, is one of the most commonly used tools for these analyses. We provide a foundation for such methods by establishing that if one equates a metagenomic sample with its empirical distribution on a reference phylogenetic tree, then the weighted UniFrac distance between two samples is just the classical Kantorovich-Rubinstein (KR) distance between the corresponding empirical distributions. We demonstrate that this KR distance and extensions of it that arise from incorporating uncertainty in the location of sample points can be written as a readily computable integral over the tree, we develop $L^p$ Zolotarev-type generalizations of the metric, and we show how the p-value of the resulting natural permutation test of the null hypothesis "no difference between the two communities" can be approximated using a functional of a Gaussian process indexed by the tree. We relate the $L^2$ case to an ANOVA-type decomposition and find that the distribution of its associated Gaussian functional is that of a computable linear combination of independent $\\chi_1^2$ random variables.

연구 동기 및 목표

• 미생물 군집 비교에 널리 사용되는 UniFrac의 엄밀한 수학적 기반을 제공하는 것.
• 가중치가 부여된 UniFrac가 계통발생수 나무 위의 경험적 분포 간 고전적 Kantorovich-Rubinstein (KR) 거리와 동일하다는 것을 보여주는 것.
• L^p Zolotarev 유형의 거리로 KR 거리를 일반화하여 다양한 통계적 설정에서의 강건성과 유연성을 확보하는 것.
• 나무에 의해 인덱싱된 가우시안 프로세스를 사용하여 순열 검정에서의 공동체 차이에 대한 정확한 p-값 근사치를 제공하는 것.
• L^2 경우의 거리가 ANOVA 유사 분해와 연결되며, 검정 통계량의 분포가 카이제곱 랜덤 변수의 선형 조합임을 도출하는 것.

제안 방법

• 각 메타게놈 샘플을 기준 계통발생수 나무 위의 경험적 확률 분포로 표현한다.
• 가중치가 부여된 UniFrac 거리를 두 경험적 분포 간의 KR 거리로 정의하며, 이는 표준 UniFrac 공식과 동일하다는 것이 입증된다.
• KR 거리를 나무 위의 계산 가능한 이重적분으로 표현한다: $ Z_2^2(P,Q) = \frac{1}{2}\frac{(m+n)^2}{mn} \left[ \int_T \int_T d(v,w) R(dv)R(dw) - \left( \frac{m}{m+n} \int_T \int_T d(v,w) P(dv)P(dw) + \frac{n}{m+n} \int_T \int_T d(v,w) Q(dv)Q(dw) \right) \right] $.
• L^p Zolotarev 유형의 거리로 KR 거리를 일반화하여 다양한 통계적 설정에서의 강건성과 탄력성을 확보한다.
• 나무에 의해 인덱싱된 가우시안 프로세스의 기능을 사용하여 검정 통계량의 근본 분포를 근사함으로써 순열 검정의 p-값 추정을 가능하게 한다.
• L^2 KR 거리 통계량의 정확한 분포를 독립적인 $ \chi_1^2 $ 랜덤 변수의 선형 조합으로 도출하여 효율적인 추론을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중치가 부여된 UniFrac 거리에 대한 더 깊은 수학적 정당성이, 그의 비형식적 정의를 넘어서 존재하는가?
• RQ2 가중치가 부여된 UniFrac 거리가 최적 운반 이론의 알려진 거리로 해석될 수 있는가?
• RQ3 KR 거리는 미생물 군집 분석에서의 통계적 추론을 위해 효율적으로 계산되고 일반화될 수 있는가?
• RQ4 공동체 간 차이가 없는 근본 가설 하에서 검정 통계량의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ5 L^2 KR 거리는 ANOVA와 유사한 방식으로 분해될 수 있으며, 그 구성 요소들의 분포는 무엇인가?

주요 결과

• 가중치가 부여된 UniFrac 거리는 계통발생수 나무 위의 경험적 확률 측도 간의 Kantorovich-Rubinstein 거리와 수학적으로 동일하다.
• KR 거리는 나무 위의 이중 적분으로 계산될 수 있으며, 이는 대규모 미생물 군집 비교에 대한 계산 가능한 방법을 제공한다.
• KR 거리의 L^p Zolotarev 유형 일반화는 잘 정의되어 있으며, 강건한 통계적 추론로의 프레임워크 확장을 가능하게 한다.
• 공동체 간 차이에 대한 순열 검정의 p-값은 나무에 의해 인덱싱된 가우시안 프로세스의 기능을 사용하여 근사될 수 있으며, 전체 재표본 추출 없이도 정확한 추론이 가능하다.
• L^2 경우에서 검정 통계량의 분포는 계산 가능한 독립적인 $ \chi_1^2 $ 랜덤 변수의 선형 조합으로 표현되며, 정확한 p-값 계산이 가능하다.
• KR 거리는 ANOVA 유사 분해를 허용하며, 군집 간 변동성은 통합 분포 R을 포함하는 적분 표현식으로 캡처된다.