[논문 리뷰] The Physics of (good) LDPC Codes I. Gauging and dualities

Tibor Rakovszky, Vedika Khemani|arXiv (Cornell University)|2023. 10. 24.

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한 줄 요약

이 논문은 사슬 복합체를 수학적 기초로 삼아 비유클리드 기하학에서 게이지 이론과 이중성에 기반한 통합된 물리 기반 프레임워크를 구축하여 좋은 고전적 및 양자 LDPC 코드를 이해하는 데 기여한다. 모든 알려진 좋은 양자 LDPC 코드가 국소적으로 검증 가능한 고전적 코드를 게이징함으로써 유래됨을 보이며, 일반화된 이중성 변환을 통해 클러스터 해밀토니안을 구성함으로써 SPT 상과 사슬 복합체 위의 비구속성 $Χ_2$ 게이지 이론과의 연결 고리를 드러낸다.

ABSTRACT

Low-depth parity check (LDPC) codes are a paradigm of error correction that allow for spatially non-local interactions between (qu)bits, while still enforcing that each (qu)bit interacts only with finitely many others. On expander graphs, they can give rise to ``good codes'' that combine a finite encoding rate with an optimal scaling of the code distance, which governs the code's robustness against noise. Such codes have garnered much recent attention due to two breakthrough developments: the construction of good quantum LDPC codes and good locally testable classical LDPC codes, using similar methods. Here we explore these developments from a physics lens, establishing connections between LDPC codes and ordered phases of matter defined for systems with non-local interactions and on non-Euclidean geometries. We generalize the physical notions of Kramers-Wannier (KW) dualities and gauge theories to this context, using the notion of chain complexes as an organizing principle. We discuss gauge theories based on generic classical LDPC codes and make a distinction between two classes, based on whether their excitations are point-like or extended. For the former, we describe KW dualities, analogous to the 1D Ising model and describe the role played by ``boundary conditions''. For the latter we generalize Wegner's duality to obtain generic quantum LDPC codes within the deconfined phase of a Z_2 gauge theory. We show that all known examples of good quantum LDPC codes are obtained by gauging locally testable classical codes. We also construct cluster Hamiltonians from arbitrary classical codes, related to the Higgs phase of the gauge theory, and formulate generalizations of the Kennedy-Tasaki duality transformation. We use the chain complex language to discuss edge modes and non-local order parameters for these models, initiating the study of SPT phases in non-Euclidean geometries.

연구 동기 및 목표

• 고전적 및 양자 LDPC 코드의 좋은 성질을 통합적으로 이해하기 위해 응집물리학과 게이지 이론의 관점에서 접근하는 것.
• 사슬 복합체를 사용하여 크라머-반너 및 웨그너 이중성을 국소적이지 않고 비유클리드 환경으로 일반화하는 것.
• 국소적으로 검증 가능한 고전적 코드를 게이징함으로써 좋은 양자 LDPC 코드의 물리적 기원을 명확히 하는 것.
• 일반화된 케네디-타키사 이중성을 사용하여 임의의 고전적 코드에서 클러스터 해밀토니안을 구성하는 것.
• 사슬 복합체 형식을 사용하여 비유클리드 기하학에서 대칭 보호된 위상적 상의 연구를 시작하는 것.

제안 방법

• 고전적 및 양자 LDPC 코드를 기술하기 위해 통합된 수학적 언어로 사슬 복합체를 사용하며, 체크 및 안정자 구조를 표현하는 사상 $\delta_1$, $\tilde{\delta}_1$, $\delta_2$, $\tilde{\delta}_2$ 를 포함한다.
• 가장자기장에서 고전적 코드에 게이징 절차를 적용하여 $\mathbb{Z}_2$ 게이지 구조를 가진 양자 해밀토니안을 생성한다.
• 해밀토니안 항 $H_{\text{CSS}} = -J_x \sum_i \prod_{a \in \delta_1^T(i)} \tau_a^x - J_z \sum_p \prod_{a \in \tilde{\delta}_2(p)} \tau_a^z - K_z \sum_q \prod_{a \in \delta_2(q)} \tau_a^z - K_x \sum_j \prod_{a \in \tilde{\delta}_1^T(j)} \tau_a^x$ 를 포함하는 결합 게이지 이론 프레임워크를 도입한다.
• 강한 결합 근사 $\lambda \to \infty$ 를 적용하여 $\tilde{\tau}_a^x = \tau_a^z$ 와 $\tilde{\tau}_a^z = \tau_a^x$ 를 만족하는 부분공간으로 프로젝션하며, CSS 해밀토니안을 복원한다.
• 일반화된 케네디-타키사 이중성을 적용하여 고전적 코드와 클러스터 해밀토니안을 연결함으로써 위상적 순서를 가진 모델을 구성할 수 있도록 한다.

Figure 1: Summary of some of the dualities that appear in this paper. Our starting points are classical LDPC codes that fall into two categories: with and without local redundancies. Physically, this determines the dimensionality of domain wall excitations, which become new degrees of freedom upon g

실험 결과

연구 질문

• RQ1 좋은 양자 LDPC 코드의 구축이 고전적 코드의 물리적 게이징 절차로 어떻게 이해될 수 있는가?
• RQ2 비국소적 상호작용과 비유클리드 기하학을 가진 시스템에서 크라머-반너 이중성의 역할은 무엇인가?
• RQ3 LDPC 코드의 진동자 — 점형과 확장형 — 는 이중성과 상의 구조를 어떻게 결정하는가?
• RQ4 일반화된 이중성을 사용하여 임의의 고전적 LDPC 코드에서 클러스터 해밀토니안을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 사슬 복합체로 기술된 비유클리드 기하학에서 대칭 보호된 위상적 순서의 물리적 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 알려진 좋은 양자 LDPC 코드는 국소적으로 검증 가능한 고전적 LDPC 코드를 게이징함으로써 도출되며, 이는 그 존재에 대한 물리적 기원을 확립한다.
• 논문은 일반화된 케네디-타키사 이중성을 사용하여 임의의 고전적 코드에서 클러스터 해밀토니안을 구성함으로써 고전적 코드와 위상적 순서를 가진 양자 모델을 연결한다.
• LDPC 코드의 진동자는 두 종류로 나뉘며, 1차원 이징 모델과 유사한 점형 진동자와 $\mathbb{Z}_2$ 게이지 이론의 비구속성 상과 유사한 확장형 진동자로 나뉘며, 이는 서로 다른 이중성 구조를 가진다.
• 크라머-반너 이중성은 국소적이지 않은 설정으로 일반화되었으며, 경계 조건이 점형 진동자와 확장형 진동자를 구별하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 웨그너 이중성은 사슬 복합체로 확장되어 비구속성 상의 $\mathbb{Z}_2$ 게이지 이론에서 일반적인 양자 LDPC 코드를 위한 프레임워크를 제공한다.
• 결합 게이지 이론 모델의 상도는 고전적 코드와 양자 코드 사이를 연속적으로 조정할 수 있으며, 강한 결합 근사 $\lambda \to \infty$ 에서 CSS 해밀토니안이 복원된다.

Figure 2: Higher form symmetries. (a) in a “usual” (0-form) symmetry, charge is associated to a region of space ( $A$ ) and its value can only change by charges (which are point-like) moving through the boundary. (b) In a higher form symmetry, the charge is measured through a line/surface ( $\Gamma$