[논문 리뷰] The Picard Group of the Moduli of Higher Spin Curves

Tyler J. Jarvis|ArXiv.org|1999. 08. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 고차 스핀 곡선의 모듈리 스택과 그 컴actification의 피카르 군을 계산하며, 2-스핀 곡선의 코르날바의 작업을 일반화한다. 타우토로지컬 클래스 사이의 관계를 수립하고, 2 또는 3이 r를 나누는 경우, r-스핀 곡선의 모듈리 스택의 피카르 군이 비자명한 토르션을 포함함을 증명한다. 특히 2|r이면 4-토르션, 3|r이면 3-토르션을 포함하며, 이는 곡선의 모듈리의 피카르 군이 토르션 없음과 뚜렷한 대비를 이룬다.

ABSTRACT

This article treats the Picard group of the moduli (stack) of r-spin curves and its compactification. Generalized spin curves, or r-spin curves are a natural generalization of 2-spin curves (algebraic curves with a theta-characteristic), and have been of interest lately because they are the subject of a remarkable conjecture of E. Witten, and because of the similarities between the intersection theory of these moduli spaces and that of the moduli of stable maps. We generalize results of Cornalba, giving relations between many of the elements of the Picard group of the stacks. These relations are important in the proof of the genus-zero case of Witten's conjecture given in math.AG/9905034. We use these relations to show that when 2 or 3 divides r, then the Picard group of the open stack has non-zero torsion. And finally, we work out some specific examples for small values of g and r.

연구 동기 및 목표

• 2-스핀 곡선의 피카르 군에 대한 코르날바의 결과를 일반화하여 고차 스핀 곡선(r ≥ 2)으로 확장한다.
• 모듈리 스택 $\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 및 그 컴actification $\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$의 피카르 군의 구조를 기술한다.
• r가 2 또는 3으로 나누어떨어지는 경우 $\text{Pic}\,\mathfrak{S}_g^{1/r}$에 존재하는 토르션 원소를 식별하고 그 존재를 증명한다.
• 피카르 군 내에서 허용 클래스(Hodge 클래스, 경계 divisor, 선다발) 사이의 명시적 관계를 제공한다.

제안 방법

• 안정적인 r-스핀 곡선과 계수 1의 토르션 없는 층을 사용하여 캐논리컬 층의 r제곱근으로서, $\overline{\mathfrak{M}}_g$의 유한 커버로서 모듈리 스택 $\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 및 그 컴actification $\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$를 구성한다.
• 피카르 군 내의 핵심 타우토로지컬 클래스를 식별한다: Hodge 클래스 λ, 경계 divisor Δ_i, 그리고 타원 곡선의 수준 구조를 가진 자동형사와 관련된 선다발 μ^{d/r,±}.
• j-불변량이 0인 타원 곡선과 1728인 타원 곡선 위에서의 구체적 기하 구조를 사용하여, 각각 순서 3r 및 4r인 자동형사를 정의하고, 그들이 선다발 위에 작용하는 방식을 분석하여 토르션을 탐지한다.
• 기하적 점의 자동형사에 의해 유도되는 유한 순환군(예: $\mathbb{Z}/4r\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/3r\mathbb{Z}$)으로부터 피카르 군으로의 호모모르피즘을 적용하여 토르션 원소를 탐지한다.
• 코homological 기법과 스택 이론적 방법을 사용하여 피카르 군을 분석하며, 이는 군의 일반 모듈리 공간의 피카르 군과의 차이를 명확히 한다.
• 끌어올림과 내림 사상에 의한 일반적 관계를 유도하여, r=2인 경우 코르날바의 관계를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 r ≥ 2에 대해, r-스핀 곡선의 모듈리 스택 $\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 및 그 컴actification $\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$의 피카르 군의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 $\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$의 피카르 군 내에서 허용 클래스(Hodge 클래스, 경계 divisor, 선다발)는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 r가 2 또는 3으로 나누어떨어지는 경우, $\mathfrak{S}_g^{1/r}$의 피카르 군에 토르션이 존재하는가? 존재한다면 그 차수는 무엇인가?
• RQ4 r=2인 경우의 허용 클래스 간의 관계를 고차 r로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 예를 들어, 고도 1 또는 일반적인 g에 대해 r=2인 경우와 같이, 낮은 고도에 대한 $\mathfrak{S}_g^{1/r}$의 피카르 군은 무엇인가?

주요 결과

• 2|r이면, $\text{Pic}\,\mathfrak{S}_g^{1/r}$에 4-토르션이 존재하며, 이는 $\mathbb{Z}/4r\mathbb{Z}$로의 호모모르피즘을 통해 이미지의 차수가 4임을 보여 증명된다.
• 3|r이면, $\text{Pic}\,\mathfrak{S}_g^{1/r}$에 3-토르션이 존재하며, 이는 $\mathbb{Z}/3r\mathbb{Z}$로의 호모모르피즘을 통해 이미지의 차수가 3임을 보여 증명된다.
• Hodge 클래스 λ와 경계 divisor 클래스는 $\text{Pic}\,\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$에서 독립적임을 보이며, 이는 토르션 존재를 증명하는 데 핵심적인 단계이다.
• 고도 1과 일반적인 r에 대해, $\text{Pic}\,\mathfrak{S}_g^{1/r,(d)}$는 d=2이면 $\mathbb{Z}/2r\mathbb{Z}$, d=3이면 $\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$, d>3이면 $\mathbb{Z}/(r/d)\mathbb{Z}$로 추측된다.
• r=2이고 g>2이면, 짝수 또는 홀수 스핀 곡선의 모듈리 스택의 피카르 군은 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$로 추측되며, μ와 λ가 생성자이고 관계 8μ + 4λ = 0를 만족한다.
• 결과는 r=2인 코르날바의 관계를 일반화하며, r-스핀 교차 이론의 고도 0 사례에 대한 증명에서 핵심 관계를 제공한다.