[논문 리뷰] The pillowcase and traceless representations of knot groups II: a Lagrangian-Floer theory in the pillowcase

Matthew Hedden, Christopher M. Herald외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 30.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 40인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 키스의 군의 추적 없음 $SU(2)$ 표현을 위한 상대적 ${\mathbb{Z}}/4$-등급 라그랑주-플로어 체인 복합체를 베개 오비폴드 안의 매장된 1-다양체를 통해 개발한다. 초전하 편항을 체르니-시몬스 함수에 적용함으로써, 토르스 키스에 대한 특이 인stanton 호모로지가 계산되며, $(3,4)$ 및 $(3,5)$ 토르스 키스의 경우 복합체가 완전해질 수 있음을 보여, 이는 인stanton 호모로지가 체인 복합체 자체와 동형임을 의미한다.

ABSTRACT

We define an elementary relatively $\\mathbb Z/4$ graded Lagrangian-Floer chain complex for restricted immersions of compact 1-manifolds into the pillowcase, and apply it to the intersection diagram obtained by taking traceless $SU(2)$ character varieties of 2-tangle decompositions of knots. Calculations for torus knots are explained in terms of pictures in the punctured plane. The relation to the reduced instanton homology of knots is explored.

연구 동기 및 목표

• 베개에서 라그랑주-플로어 이론을 사용하여 특이 인stanton 호모로지에 대한 구체적인 계산 프레임워크를 개발하기 위해.
• 최소한의 초전하 편항을 사용하여 인stanton 체인 복합체의 대수적 해석을 추적 없음 $SU(2)$ 표현의 관점에서 유지하기 위해.
• 베개 안의 매장된 1-다양체 간의 교차를 분석하여 토르스 키스에 대한 $I^{ atural}(S^3, K)$ 를 계산하기 위해.
• 인stanton 체인 복합체가 완전해지기, 즉 영이 되는 미분을 가질 수 있는 조건을 설정하기 위해.
• 잠재적 스펙트럴 시퀀스를 통한 새로운 불변량과 카호바노프 호모로지 사이의 관계를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 키스의 2틀래그 분해를 사용하여, 자명한 2줄 틈을 분리하여 보완 틈 $(Y,T)$ 를 정의한다.
• 추적 없음 $SU(2)$ 표현의 다양체 $R(Y,T)$ 는 토러스의 오비폴드 몫인 베개 $P$ 에 제약 사상에 의해 사상된다.
• 초전하 편항이 체르니-시몬스 함수에 적용되어, 자명한 틈의 표현 다양체의 편중된 이미지 $L_0^\epsilon$ 가 베개 안에 유도된다.
• 인stanton 체인 복합체의 생성자는 $L_0^\epsilon$ 와 $P$ 안의 $R(Y,T)$ 이미지 간의 횡단 교차점에 대응한다.
• 이 교차점들로부터 상대적 ${\mathbb{Z}}/4$-등급 라그랑주-플로어 체인 복합체가 구성되며, 미분은 베개 안의 헬름홀츠 디스크를 세는 방식이다.
• 이 방법은 편항 매개변수에 의해 유도되는 $L_0^\epsilon$ 의 호모토피를 활용하여 이중 삼각형 쌍을 제거하고 생성자의 수를 줄인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토르스 키스에 대해, 결과적으로 인stanton 체인 복합체가 완전해지는 초전하 편항을 구성할 수 있는가?
• RQ2 라그랑주-플로어 호모로지 $H^\natural(Y,T,\pi)$ 는 편항 $\pi$ 의 선택에 얼마나 의존하는가?
• RQ3 라그랑주-플로어 호모로지 $H^\natural(Y,T,\pi)$ 는 스펙트럴 시퀀스를 통해 축소된 카호바노프 호모로지와 관련이 있는가?
• RQ4 작은 편항에 대해, $\partial^2 = 0$ 의 장애물인 피시테일 특이점은 피할 수 있는가?
• RQ5 베개 방법은 키스와 루프의 $n$-틀래그 분해로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• $(3,5)$ 토르스 키스의 경우, $\epsilon_A = 0.1$, $\epsilon_B = 0$ 일 때 $\epsilon$ 를 0.2로 증가시키면 정확히 7개의 교차점이 발생하며, 앨리오크산 다항식으로부터의 하한과 일치한다.
• $(3,4)$ 토르스 키스의 경우, $\epsilon$ 를 0.8로 증가시켜 이중 삼각형에 관련된 두 생성자를 제거함으로써, 영이 되는 미분을 가진 완전한 복합체를 얻는다.
• $(3,4)$ 및 $(3,5)$ 토르스 키스에 대해, 체르니-시몬스 함수에 편항을 가미한 결과가 완전해지는 초전하 편항이 존재하며, 이는 인stanton 체인 복합체의 모든 미분이 사라짐을 의미한다.
• $(4,7)$ 토르스 키스의 경우, $\epsilon$ 를 증가시켜 두 이중 삼각형 쌍 중 하나만 제거할 수 있지만, $L_0^\epsilon$ 의 정규 호모토피를 통해 둘 다 제거할 수 있으며, 이는 완전한 복합체를 얻는다.
• 라그랑주-플로어 호모로지 $H^\natural(L_0, L_1)$ 는 $L_0$ 의 정규 호모토피에 대해 불변이며, 이는 생성자를 줄이기 위한 위상적 조작을 가능하게 한다.
• 구성은 카호바노프 호모로지에서 $H^\natural(Y,T,\pi)$ 로 향하는 스펙트럴 시퀀스를 암시하며, 두 불변량 사이의 추측된 관계를 뒷받침한다.