[논문 리뷰] The plane fixed point problem

Robbert Fokkink, John C. Mayer외 2명|ArXiv.org|2008. 05. 08.

Mathematics and Applications참고 문헌 29인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 평면 고정점 문제의 기본 결과에 대해 엄밀한 증명을 제공하며, 단순 폐곡선 위의 사상의 변동성 개념을 도입하고 핵심 항등식 Index = Variation + 1을 확립한다. 최대 둥근 구의 내부에서 쌍곡선 끈을 이용한 극단점 이론을 개발하고, 고정점이 없는 사상에 대해 변동성 −1인 외채널의 존재성과 유일성을 증명하며, 벨의 핵심 정리(린치핀 정리)를 임의의 도메인으로 일반화한다. 중심 기여는 평면에서 양의 방향성과 완전성 조건을 만족하는 사상에 대해, 이러한 사상은 임의의 고정된 비분리 연속체 내에 고정점을 가져야 한다는 고정점 정리이다.

ABSTRACT

In this paper we present proofs of basic results, including those developed so far by H. Bell, for the plane fixed point problem. Some of these results had been announced much earlier by Bell but without accessible proofs. We define the concept of the variation of a map on a simple closed curve and relate it to the index of the map on that curve: Index = Variation + 1. We develop a prime end theory through hyperbolic chords in maximal round balls contained in the complement of a non-separating plane continuum $X$. We define the concept of an {\em outchannel} for a fixed point free map which carries the boundary of $X$ minimally into itself and prove that such a map has a \emph{unique} outchannel, and that outchannel must have variation $=-1$. We also extend Bell's linchpin theorem for a foliation of a simply connected domain, by closed convex subsets, to arbitrary domains in the sphere. We introduce the notion of an oriented map of the plane. We show that the perfect oriented maps of the plane coincide with confluent (that is composition of monotone and open) perfect maps of the plane. We obtain a fixed point theorem for positively oriented, perfect maps of the plane. This generalizes results announced by Bell in 1982 (see also \cite{akis99}). It follows that if $X$ is invariant under an oriented map $f$, then $f$ has a point of period at most two in $X$.

연구 동기 및 목표

• H. 벨이 이전에 발표했지만 완전한 증명 없이 발표한 평면 고정점 문제의 기본 결과에 대해 접근 가능하고 완전한 증명을 제공하는 것.
• Index = Variation + 1이라는 항등식을 통해 단순 폐곡선 위의 사상의 인덱스와 변동성 간의 관계를 확립하는 것.
• 비분리 연속체의 보조 공간 내에 포함된 최대 둥근 구 안의 쌍곡선 끈을 이용한 극단점 이론을 개발하는 것.
• 비분리 연속체의 경계를 스스로로 최소한으로 사상하는 고정점이 없는 사상에 대해 변동성 −1인 외채널의 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 벨의 린치핀 정리를 단순연결 도메인의 분할에 대해 일반화하여 구의 임의의 도메인으로 확장하고, 양의 방향성 사상에 대한 고정점 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 단순 폐곡선 위의 사상의 변동성 개념을 도입하고, 이를 Index = Variation + 1이라는 항등식을 통해 인덱스와 연결하는 것.
• 비분리 연속체 X의 보조 공간에 포함된 최대 둥근 구 내의 쌍곡선 기하선(지오데식)을 이용해 극단점 이론을 구성하는 것.
• 비분리 연속체의 경계를 스스로로 최소한으로 사상하는 고정점이 없는 사상에 대해 외채널을 정의하고, 이것이 유일하며 변동성이 정확히 −1임을 증명하는 것.
• 쿠르카르니–핑갈의 분할 방법을 평면에 적응시켜, 최대 둥근 구 내의 쌍곡기하를 사용하여 X의 보조 공간의 구조를 분석하는 것.
• 쿠르카르니–핑갈의 접근 방식을 사용하여 단순연결 도메인의 분할에 대해 벨의 린치핀 정리를 구의 임의의 도메인으로 일반화하는 것.
• 평면의 양의 방향성 사상을 정의하고, 이것이 축합된 완전한 사상과 일치함을 보이며, 이러한 사상이 고정된 비분리 연속체 내에 고정점을 가져야 한다는 고정점 정리를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평면의 단순 폐곡선 위의 사상에서 인덱스와 변동성 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ2 비분리 연속체의 보조 공간 내 최대 둥근 구에서의 쌍곡선 끈을 이용해 극단점 이론을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 경계를 스스로로 최소한으로 사상하는 모든 고정점이 없는 사상은 유일한 외채널을 가지며, 그 변동성은 얼마인가?
• RQ4 단순연결 도메인의 분할에 대해 벨의 린치핀 정리는 구의 임의의 도메인으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 양의 방향성과 완전성을 만족하는 평면의 사상은 항상 임의의 고정된 비분리 연속체 내에 고정점을 가져야 하는가?

주요 결과

• 단순 폐곡선 위의 사상에 대해 Index = Variation + 1이라는 항등식이 엄밀히 증명되었으며, 이는 위상적 및 기하학적 불변량 간의 기본적인 연결 고리를 제공한다.
• 비분리 연속체의 경계를 스스로로 최소한으로 사상하는 고정점이 없는 사상에 대해 외채널은 유일하게 정의되며 변동성이 정확히 −1임을 증명하였다.
• 쿠르카르니–핑갈의 분할 방법이 평면에 적응되어, 최대 둥근 구 내에서 쌍곡기하 기반의 극단점 이론을 구성하는 데 성공하였다.
• 쿠르카르니와 핑갈의 우아한 추론을 사용하여, 벨의 린치핀 정리를 단순연결 도메인에서 구의 임의의 도메인으로 일반화하였다.
• 완전한 방향성 사상의 평면 사상이 축합된 사상과 정확히 일치하며, 이러한 사상은 고정된 비분리 연속체 내에 고정점을 가져야 한다는 것을 보였다.
• 따라서 모든 축합된 평면 사상은 비분리된 고정된 부분연속체 내에서 주기 수가 2 이하인 점을 가져야 한다.