[논문 리뷰] The polynomial multidimensional Szemerédi Theorem along shifted primes

Nikos Frantzikinakis, Bernard Host외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 08.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이심화된 소수를 따라 다항 다차원 수제디의 정리를 확립하며, 정상 상한 밀도를 가진 ℤ^ℓ의 임의의 부분집합이 다항식 이동을 통해 이심화된 소수에서 평가된 구성요소를 포함함을 증명한다. 증명은 고차원 푸리에 분석의 균일성 노름과 에르고딕 이론, 소수 이론을 결합하여, 조밀한 집합에서의 산술적 등차수열과 재귀성에 대한 이전 결과들을 확장한다.

ABSTRACT

If $\vf_1, ... \vf_m\colon\Z o\Z^\ell$ are polynomials with zero constant terms and $E\subset\Z^\ell$ has positive upper Banach density, then we show that the set $E\cap (E-\vf_1(p-1))\cap\...\cap (E-\vf_m(p-1))$ is nonempty for some prime $p$. We also prove mean convergence for the associated averages along the prime numbers, conditional to analogous convergence results along the full integers. This generalizes earlier results of the authors, of Wooley and Ziegler, and of Bergelson, Leibman and Ziegler.

연구 동기 및 목표

• 조밀한 집합에서의 산술적 등차수열에 대한 이전 결과들을 일반화하여, 다항 다차원 수제디 정리를 이심화된 소수를 따라 확장하는 것.
• ℤ^ℓ에서 정상 상한 밀도를 가진 임의의 집합에 대해, 소수 p에 대해 p−1로 이동하는 것이 다항식 매핑에 의해 정의된 교차 패턴을 유지함을 확립하는 것.
• 중심 정수에서의 수렴 조건 하에, 바르마르트 유형 가중치를 사용한 가중 평균을 통해, 소수를 따라 다중 에르고딕 평균의 평균 수렴을 증명하는 것.
• 워리–지글러, 버겔슨–라이브먼–지글러, 그리고 저자들의 이전 선형 및 이차 패턴에 관한 연구 결과를 통합하고 일반화하는 것.
• 재귀성이 발생하는 매개변수 n의 집합이 이심화된 소수 ℙ−1과 ℙ+1 내에서 양의 상대 밀도를 가짐을 보여주는 것.

제안 방법

• 공변 조건 원리(Furstenberg Correspondence Principle)를 사용하여 조합론 문제를 가변 측도를 가지는 확률 공간에서 가환 측도를 보존하는 변환을 갖는 에르고딕 이론적 재귀 문제로 변환한다.
• 다항 수제디 정리의 균일한 형태(정리 4.1 및 추론 4.2)를 적용하여 특정 변환에 의존하지 않는 다중 재귀에 대한 균일한 하한을 확보한다.
• W-트릭과 닐시퀀스 균일 분포를 통해 유도된 바르마르트 유형 가중 함수 Λ′(n)를 사용하여 이심화된 소수가 등차수열에서 어떻게 분포하는지를 모델링한다.
• 등차수열에서의 소수 정리와 선형 형식 조건을 이용하여 가중 수열 Λ′(n)의 균일성을 간격에서 제어한다.
• 주로 측도의 주요화 방법과 주요화 수열을 사용하여 소수를 따라 평균의 수렴을 등차수열을 따라 평균의 수렴으로 환원한다.
• L²(μ)에서의 코시 기준을 적용하여 가중 다중 에르고딕 평균의 수렴을 증명하며, 이는 이심화된 소수의 상대 밀도와 닐시퀀스의 구조를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항 다차원 수제디 정리는 이심화된 소수를 따라, 즉 소수 p에 대해 p−1과 p+1을 따라 제한될 수 있는가?
• RQ2 다항식 이동을 따라 다중 재귀가 발생하는 정수 n의 집합은 이심화된 소수 내에서 양의 상대 밀도를 가질까?
• RQ3 중심 정수에서의 수렴을 가정할 때, L²(μ)에서 소수를 따라 다중 에르고딕 평균이 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 W-트릭과 닐시퀀스 이론을 통해, 균일한 다중 재귀 결과를 이심화된 소수에 지지되는 수열에 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 바르마르트 함수의 구조와 그 주요화된 형태는 닐시스템에서 다항식 궤도의 균일 분포와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 정상 상한 밀도를 가진 ℤ^ℓ의 임의의 집합 E ⊂ ℤ^ℓ과 상수항이 0인 다항식 매핑 q_i: ℤ → ℤ^ℓ에 대해, 어떤 소수 p에 대해서도 E ∩ (E − q₁(p−1)) ∩ … ∩ (E − q_m(p−1))의 교차는 비어 있지 않다.
• 이러한 재귀가 발생하는 소수 p의 집합은 이심화된 소수 ℙ−1과 ℙ+1 내에서 양의 상대 밀도를 가진다.
• 중심 정수에서의 평균이 수렴할 경우, L²(μ)에서 소수를 따라 다중 에르고딕 평균의 평균 수렴이 성립한다. 이는 수렴 가정 조건 하에 조건부이다.
• 가중 평균 ∑_{p≤N} f₁(T^{q₁(n)}x)⋯f_m(T^{q_m(n)}x) / π(N)의 수렴은 주요화 수열과 가중 함수의 균일성을 활용한 코시 기준을 통해 확립된다.
• 증명은 Wn+r(고정된 W와 W와 서로소인 r에 대해)를 따라 다중 재귀 평균의 하한이, 집합의 측도와 다항식의 차수에만 의존하는 양의 상수로 유계임을 보여준다.
• 워리–지글러(ℓ=1인 경우)와 버겔슨–라이브먼–지글러(선형 다항식인 경우)의 이전 정리들을 일반화하여, 상수항이 0인 임의의 다항식 매핑으로 확장한다.