[논문 리뷰] The prediction distribution of a GARCH(1,1) process

Karim M. Abadir, Alessandra Luati외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 20.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정규 오차를 가진 GARCH(1,1) 과정에 대해 h단계 전진 예측 밀도의 정확한 해석적 형태를 유도한다. 이는 비대칭 뉴스 영향을 포함한다. 명시적인 밀도는 유한한 수평선에서 비정규성과 꼬리 행동을 정량화하고, 예상 실족과 같은 리스크 측도를 정확하게 계산할 수 있게 하며, h가 증가함에 따라 파레토 꼬리를 가진 정상 분포로 수렴하는 것을 보여준다.

ABSTRACT

This paper derives the analytic form of the $h$-step ahead prediction density of a GARCH(1,1) process under Gaussian innovations, with a possibly asymmetric news impact curve. The analytic form of the density is novel and improves on current methods based on approximations and simulations. The explicit form of the density permits to compute tail probabilities and functionals, such as expected shortfall, that measure risk when the underlying asset return is generated by a GARCH(1,1). The prediction densities are derived for any finite prediction horizon $h$. For the stationary case, as $h$ increases the prediction density converges to a distribution with Pareto tails which whose form has been already described in the literature. The formulae in the paper characterize the degree of non-gaussianity of the prediction distribution, and the distance between the tails of the finite horizon prediction distribution and the ones of the stationary distribution.

연구 동기 및 목표

• GARCH(1,1) 과정에 대해 정규 오차 조건 하에서 h단계 전진 예측 밀도의 정확한 해석적 표현을 제공하는 것.
• GARCH 모델에서 리스크 측도를 위한 시뮬레이션 기반 또는 근사 방법보다 향상된 방법을 개선하는 것.
• 특히 꼬리에서 나타나는 예측 분포의 비정규성 특징을 규명하는 것.
• 유한한 예측 수평선에서의 예측 밀도가 h가 증가함에 따라 정상 분포로 수렴하는 방식을 분석하는 것.
• 유한한 수평선과 정상 예측 밀도의 꼬리 간 거리를 정량화하는 것.

제안 방법

• 정규 오차 조건 하에서 GARCH(1,1) 과정의 h단계 전진 예측에 대한 정확한 확률 밀도 함수를 유도한다.
• 해석 유도 과정에 비대칭 뉴스 영향 곡선을 포함시킨다.
• 수학적 기법을 사용하여 유한한 h에 대해 예측 밀도를 닫힌 형태로 표현한다.
• 예측 밀도의 꼬리 행동을 분석하고, 정상 상태에서 파레토 꼬리가 있는 분포로 수렴함을 보여준다.
• 유한한 수평선 예측 밀도의 꼬리 구조를 정상 분포의 꼬리와 비교한다.
• 유도된 밀도를 사용하여 예상 실족과 꼬리 확률과 같은 기능을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 오차와 비대칭 뉴스 영향을 가진 GARCH(1,1) 과정에 대해 h단계 전진 예측 밀도의 정확한 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ2 유한한 예측 수평선에서, 예측 분포의 비정규성은 특히 꼬리에서 어떻게 나타나는가?
• RQ3 예측 수평선 h가 증가함에 따라 예측 밀도의 극한 형태는 무엇이며, 알려진 정상 분포와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 유한한 수평선 예측 밀도의 꼬리는 정상 분포의 꼬리와 어떻게 다른가?
• RQ5 유도된 밀도는 시뮬레이션 기반 방법보다 더 정확하게 예상 실족과 같은 리스크 측도를 계산하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 이 논문은 정규 오차와 비대칭 뉴스 영향을 가진 GARCH(1,1) 과정에 대해 h단계 전진 예측 밀도의 첫 번째 정확한 해석적 형태를 유도한다.
• 유한한 수평선 예측 밀도는 정규 분포보다 더 무거운 꼬리를 가지며, 유도된 공식을 통해 비정규성 특징이 정량화된다.
• h가 증가함에 따라 예측 밀도는 파레토 타입의 꼬리를 가진 정상 분포로 수렴하며, 문헌에서 알려진 결과와 일치한다.
• 유한한 수평선 예측 밀도와 정상 예측 밀도의 꼬리 간 거리는 h가 증가함에 따라 감소하며, 수렴을 시사한다.
• 명시적인 밀도를 통해 예상 실족과 꼬리 확률과 같은 리스크 기능을 정확하게 계산할 수 있으며, 시뮬레이션 기반 방법보다 향상된다.
• 공식은 임의의 유한한 h에 대해 예측 분포의 비정규성 정도, 특히 꼬리에서의 비정규성 정도를 정량화한다.