[논문 리뷰] The Pricing of Multiple-Expiry Exotics

O Hyong-Chol, Mun-Chol Kim|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다중 만기 이외의 파생상품을 통합적으로 가격정하기 위한 고차수 이진옵션을 소개한다. Buchen의 이중 만기 방법을 세 개 이상의 만기일을 가진 옵션으로 확장한 것으로, 복잡한 지ayoff를 n차 이진옵션의 선형조합으로 표현하고 정적 복제를 통해 PDE 해법을 이용해 닫힌 형식의 가격정함 공식을 유도함으로써, 일정 변동성과 이자율 하에서 Bermudan, 연장 가능, 다중 쇼트 옵션의 효율적 평가를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we extend Buchen's method to develop a new technique for pricing of some exotic options with several expiry dates(more than 3 expiry dates) using a concept of higher order binary option. At first we introduce the concept of higher order binary option and then provide the pricing formulae of $n$-th order binaries using PDE method. After that, we apply them to pricing of some multiple-expiry exotic options such as Bermudan option, multi time extendable option, multi shout option and etc. Here, when calculating the price of concrete multiple-expiry exotic options, we do not try to get the formal solution to corresponding initial-boundary problem of the Black-Scholes equation, but explain how to express the expiry payoffs of the exotic options as a combination of the payoffs of some class of higher order binary options. Once the expiry payoffs are expressed as a linear combination of the payoffs of some class of higher order binary options, in order to avoid arbitrage, the exotic option prices are obtained by static replication with respect to this family of higher order binaries.

연구 동기 및 목표

• 세 개 이상의 만기일을 가진 다중 만기 이외의 파생상품을 위한 통합 가격정 프레임워크를 개발하기.
• PDE 기법을 사용하여 Buchen의 이중 만기 이진옵션 방법을 고차수 이진옵션으로 확장하기.
• 복잡한 이외의 지ayoff를 고차수 이진옵션 지ayoff의 선형조합으로 표현함으로써 정적 복제를 가능하게 하기.
• Black-Scholes PDE를 사용하여 n차 이진옵션에 대한 닫힌 형식의 가격정 공식 제공하기.
• Bermudan, 다중 시간 연장 가능, 다중 쇼트 옵션과 같은 구체적 금융 상품에 대해 방법을 적용하여 검증하기.

제안 방법

• n차 이진옵션을 귀납적으로 도입하며, n차 이진옵션의 지ayoff는 (n-1)차 이진옵션의 지ayoff이다.
• Black-Scholes PDE와 Feynman-Kac 표현을 사용하여 n차 이진옵션의 가격정식 유도하기.
• 다중 만기 이외의 지ayoff를 고차수 이진옵션 지ayoff의 조각별 선형조합으로 표현하기.
• 정적 복제 적용: 지ayoff가 고차수 이진옵션의 포트폴리오에 의해 복제될 수 있으므로, 옵션 가격은 복제 포트폴리오의 현재가치와 같다.
• 기존의 일차 및 이차 이진옵션 공식(예: $ A_K^+ $, $ Q_K^{+} $, $ Q_{KK}^{-+} $)을 사용하여 고차수 표현을 재귀적으로 구성하기.
• Black-Scholes PDE의 초기-경계값 문제를 $ y = \ln x $를 통해 상수 계수 PDE로 변환한 후 기대값 공식 적용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Buchen의 이중 만기 이진옵션 방법은 어떻게 세 개 이상의 만기일을 가진 옵션으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 n차 이진옵션의 수학적 구조는 무엇이며, PDE를 통해 어떻게 가격정할 수 있는가?
• RQ3 복잡한 다중 만기 이외의 지ayoff는 고차수 이진옵션 지ayoff의 선형조합으로 분해될 수 있는가?
• RQ4 고차수 이진옵션을 사용한 다중 만기 이외의 파생상품에 대한 정적 복제 전략은 무엇인가?
• RQ5 다중 만기 이외의 파생상품의 가격정식은 고차수 이진옵션 가격의 조합으로 어떻게 도출되는가?

주요 결과

• 시간 $ t < T_0 $ 에서 고정된 시간에 두 번 쇼트하는 콜옵션의 가격은 $ Q_{KKK}^{-{-}+} $, $ Q_{KK}^{-+ ight} $, $ A_{KK}^{-+} $, $ A_K^+ $, $ B_K^+ $ 항들과 시간에 따라 변하는 할인 요인의 조합으로 주어진다.
• 만일 $ x > K $ 이면, $ T_0 $ 시점에서 두 번 쇼트하는 콜옵션의 가격은 $ G(T_0,T_1,T_2) \cdot x - K \cdot e^{-r(T_2-T_0)} $ 이다. 여기서 $ G $ 는 누적 정규분포와 이元정규분포의 복합함수이다.
• 계수 $ G(T_0,T_1,T_2) $ 는 $ e^{-r(T_2-T_1)} + g(T_1,T_2) $, $ e^{-q(T_1-T_0)}N(d^+) $, $ e^{-r(T_2-T_0)}N(-d^-) $, 그리고 이원정규분포 항 $ g_1 $ 을 포함한다.
• 이 방법은 전체 초깃값-경계값 문제를 해결하는 대신 지ayoff를 고차수 이진옵션 지ayoff의 조합으로 직접 표현함으로써, 정적 복제를 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 Buchen의 접근법을 다중 만기로 일반화하며, 재귀적 이진분해를 통해 복잡한 이외의 파생상품을 체계적으로 가격정하는 방법을 제공한다.
• 모델은 일정한 이자율, 배당수익률, 변동성을 가정하지만, 시간에 따라 변하는 계수로의 확장은 간단히 가능하다.