[논문 리뷰] The primitivity index function for a free group, and untangling closed curves on hyperbolic surfaces

Neha Gupta, Ilya Kapovich|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 20.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 24인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 자유군의 계수 N ≥ 2에 대해, 비반사 랜덤 워크에 기반한 확률적 방법을 사용하여, 자유군에서의 원시성 지수 함수 f(n)과 단순성 지수 함수 f₀(n)에 대한 하한을 확립한다. 초순환 표면에 대해 fρ(L) ≥ c log¹ᐟ³ L이고, 자유군에 대해 f₀(n) ≥ c log¹ᐟ³ n임을 증명하며, 닫힌 지오데식 또는 곡선을 단순하거나 원시 형태로 올리기 위해서는 길이나 단어 길이에 대해 로그 정도의 최소 차수를 갖는 코버가 필요하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Abstract. Scott [39] proved that if Σ is a closed surface with a hyperbolic metric ρ, then for every closed geodesic γ on Σ there exists a finite cover of Σ where γ lifts to a simple closed geodesic. Define fρ(L) ≥ 0 to be the smallest monotone nondecreasing function such that every closed geodesic of length ≤ L on Σ lifts to a simple closed geodesic in a cover of Σ of degree ≤ fρ(L). A result of Patel [32] implies that for every hyperbolic structure ρ on Σ there exists K = K(ρ)> 0 such that fρ(L) ≤ KL for all L> 0. We prove that there exist c = c(ρ)> 0 such that fρ(L) ≥ c log1/3 L for all sufficiently large L. We obtain a similar lower bound for the function fΣ defined analogously to fρ but using the self-intersection number of closed curves on Σ instead of the hyperbolic length. These results are obtained as a consequence of several related results that we establish for free groups. Thus we define, study and obtain lower bounds for the primitivity index function f(n) and the simplicity index function f0(n) for the free group FN = F (a1,..., aN) of finite rank N ≥ 2. The primitivity index function f(n) is the smallest monotone non-decreasing function f(n) ≥ 0 such that for every nontrivial freely reduced word w ∈ FN of length ≤ n there is a subgroup H ≤ FN of index ≤ f(n) such that w ∈ H and that w is a primitive element (i.e. an element of a free basis) of H. The function f0(n) is defined similarly except that instead of w being primitive in H we require that w belongs to a proper free factor of H. The lower bounds for f(n) and f0(n) are obtained via probabilistic methods, by estimating from below the simplicity index for a “sufficiently random ” element wn ∈ FN produced by a simple non-backtracking random walk of length n on FN. 1.

연구 동기 및 목표

• 자유군 FN에서의 원시성 지수 함수 f(n)을 정의하고 분석하여, 단어가 부분군에서 원시적이게 되는 데 필요한 최소 코버 차수를 측정한다.
• 단순성 지수 함수 f₀(n)을 정의하고 연구하여, 단어가 유한지수 부분군의 진부분 자유요소에 포함되어야 한다는 조건을 만족시킨다.
• 단어 길이 n에 관해 f(n)과 f₀(n)에 대한 정량적 하한을 확률적 기법을 사용하여 확립한다.
• 자기군의 결과를 초순환 표면으로 확장하여, 닫힌 지오데식의 초순환 길이 L과 원시성 및 단순성 지수를 연결한다.
• 닫힌 지오데식을 단순 곡선으로 올리기 위해 필요한 최소 코버 차수가 L이 크면 log¹ᐟ³ L 이상으로 증가함을 보여준다.

제안 방법

• 자유군 FN에서의 원시성 지수 함수 f(n)을, FN 내의 비자명한 자유로 감소한 길이 ≤ n인 모든 단어가 유한지수 부분군 H에 속해 있고, 그 안에서 원시적이게 되는 최소의 단조비감소 함수로 정의한다.
• 유사하게 단순성 지수 함수 f₀(n)을 정의하여, 단어가 H의 진부분 자유요소에 포함되어야 한다는 조건을 요구한다.
• 자유군 FN에서의 단순한 비반사 랜덤 워크를 사용하여 길이 n인 무작위 원소 wn을 생성하고, 이러한 원소들이 원시성 또는 단순성 조건을 만족할 확률을 추정한다.
• f(n)과 f₀(n)에 대한 하한을 확립하기 위해, 길이 n인 무작위 단어 중 일부가 원시적이지 않거나, 어떤 저지수 부분군의 진부분 자유요소에 포함되어 있지 않은 비율이 양수임을 보인다.
• 이 군론적 하한을 초순환 표면에 적용하기 위해, 표면의 기하학과 FN의 단어-하이퍼볼릭 성질을 통해 단어 길이와 초순환 길이를 연결한다.
• 군론적 하한을 바탕으로 초순환 표면에서의 코버 차수 함수 fρ(L)에 대해 fρ(L) ≥ c log¹ᐟ³ L의 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초순환 표면의 유한 코버 중에서 길이 ≤ L인 닫힌 지오데식을 단순한 닫힌 지오데식으로 올리기 위해 필요한 최소 차수는 얼마인가?
• RQ2 자유군 FN의 계수 N ≥ 2일 때, 단어 길이 n에 따라 원시성 지수 함수 f(n)은 어떻게 증가하는가?
• RQ3 자유군 FN의 비자명한 단어에 대해 단순성 지수 함수 f₀(n)의 증가율은 어떻게 되는가?
• RQ4 자유군에서 비반사 랜덤 워크에 기반한 확률적 방법을 사용하여 f(n)과 f₀(n)에 대한 비자명한 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ5 군론적 하한으로 유도된 f(n)과 f₀(n)의 결과는 초순환 표면에서의 코버 차수 함수 fρ(L)에 대해 기하학적 하한으로 어떻게 번역되는가?

주요 결과

• 자유군 FN에 대해 원시성 지수 함수 f(n)은 어떤 c = c(N) > 0가 존재하여 모든 충분히 큰 n에 대해 f(n) ≥ c log¹ᐟ³ n를 만족한다.
• 단순성 지수 함수 f₀(n) 역시 어떤 c = c(N) > 0가 존재하여 모든 충분히 큰 n에 대해 f₀(n) ≥ c log¹ᐟ³ n를 만족한다.
• 모든 초순환 표면 Σ와 그 메트릭 ρ에 대해, 코버 차수 함수 fρ(L)는 모든 충분히 큰 L에 대해 fρ(L) ≥ c log¹ᐟ³ L를 만족하며, c = c(ρ) > 0이다.
• 이 하한은 비반사 랜덤 워크의 확률적 분석을 통해 확립되며, 길이 n인 무작위 단어 중 일부가 원시적이지 않거나, 어떤 저지수 부분군의 진부분 자유요소에 포함되어 있지 않은 비율이 양수임을 보여준다.
• 결과적으로, 닫힌 지오데식을 단순 곡선으로 올리기 위해 필요한 최소 코버 차수가 길이 L에 대해 삼중 로그 함수 이상으로 증가함을 보여준다.
• 이 하한은 Patel의 결과에서 알려진 상한 fρ(L) ≤ KL과 로그 인자 수준에서 일치하므로, 타당한 하한임을 입증한다.