[논문 리뷰] The principal series of $p$-adic groups with disconnected centre

Anne‐Marie Aubert, Paul Baum외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 29.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 22인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 중심이 비연결인 분할 재구성 $p$-진 군의 주요 시리즈에 대해 확장된 몫과 강화된 링글랜드 매개변수를 사용하여 국소 링글랜드 상응을 수립한다. 이는 베르너스타인 성분의 기하적 구조에 관한 ABPS 추측이 주요 시리즈 전반에 걸쳐 성립함을 증명하며, 이는 이전 결과에서 중심이 연결되어 있음을 전제로 하였던 일반화이다.

ABSTRACT

Let G be a split connected reductive group over a local non-archimedean field. We classify all irreducible complex G-representations in the principal series, irrespective of the (dis)connectedness of the centre of G. This leads to a local Langlands correspondence for principal series representations, which satisfies all expected properties. We also prove that the ABPS conjecture about the geometric structure of Bernstein components is valid throughout the principal series of G.

연구 동기 및 목표

• 중심이 비연결인 분할 재구성 $p$-진 군의 주요 시리즈 표현에 대해 국소 링글랜드 상응을 확장하여 이전에 중심이 연결되어 있음을 전제로 한 제약 조건을 극복한다.
• 군의 중심이 비연결일 경우에도, 베르너스타인 성분의 기하적 구조에 관한 ABPS 추측이 주요 시리즈에서 성립함을 검증한다.
• 각 베르너스타인 성분에 대해 확장된 몫, 기약 표현, 강화된 링글랜드 매개변수 사이의 교환 다이어그램을 구성한다.
• 링글랜드 쌍대군에서 비연결 재구성군에 대해 애매한 히드라 알지브라와 교차곱 대수의 이론을 일반화한다. 이는 성분군과의 반직접곱을 통해 이루어진다.
• 유니포텐트 군류와 코캐릭터를 통한 표준 레이블링을 정의하여 L-패킷의 구조와의 호환성을 보장한다.

제안 방법

• 확장된 몫 $(T^{\frak{s}}//W^{\frak{s}})_2$, 베르너스타인 성분 ${\rm Irr}({\mathcal{G}})^{\frak{s}}$, 강화된 링글랜드 매개변수 $\Psi(G)^{\frak{s}}_{\rm en}$를 포함하는 교환 다이어그램을 구성한다.
• $T^\frak{s}$를 링글랜드 쌍대군 $G$의 복소 재구성군 $H^\frak{s}$의 항등원 성분 $H_0^\frak{s}$의 최대 토러스로 정의하고, $W^\frak{s} = N_{H^\frak{s}}(T)/T$로 정의한다.
• $W^\frak{s} = \mathcal{W}^{H_0^\frak{s}} \rtimes \pi_0(H^\frak{s})$가 $T^\frak{s}$에 작용함을 이용하여 제2종 확장 몫을 정의한다.
• 표현 $\mathbf{c}$에 대해 $[w,t] \mapsto W^\frak{s} \widetilde{\theta_z}(w,t) = W^\frak{s}(t \cdot h_\mathbf{c}(z))$를 통해 $\theta_z: \mathbf{c} \to T^\frak{s}/W^\frak{s}$의 준동형을 구성한다. 여기서 $h_\mathbf{c}$는 유니포텐트 군류와 관련된 코캐릭터이다.
• 잔류 코셋과 성분군과의 호환성을 확보하면서, KLR 매개변수 구성법을 통해 표현과 링글랜드 매개변수를 연결한다.
• 두 표현이 같은 L-패킷에 속해 있음과 동치인 조건은 모든 $z \in \mathbb{C}^\times$에 대해 동일한 유니포텐트 군류 레이블과 $\theta_z$-값을 공유함임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중심이 비연결인 $p$-진 군의 주요 시리즈에 대해 국소 링글랜드 상응이 존재하는가?
• RQ2 군의 중심이 비연결일 경우에도, 베르너스타인 성분의 기하적 구조에 관한 ABPS 추측이 주요 시리즈에서 유효한가?
• RQ3 링글랜드 쌍대군의 비연결 설정에서 확장된 몫과 교차곱 대수는 어떻게 일반화되는가?
• RQ4 비연결 중심의 경우, L-패킷의 구조는 유니포텐트 군류와 코캐릭터 작용을 통해 특징지을 수 있는가?
• RQ5 성분군 $\pi_0(H^\frak{s})$는 $H^\frak{s}$의 웨일 군과 히드라 대수의 구조를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 중심이 비연결이더라도, 어떤 분할 재구성 $p$-진 군의 주요 시리즈에 대해 기대되는 모든 성질을 만족하는 국소 링글랜드 상응을 수립한다.
• 베르너스타인 성분의 기하적 구조에 관한 ABPS 추측은 중심의 연결성 여부에 관계없이 주요 시리즈 전반에 걸쳐 성립함이 증명되었다.
• 확장된 몫 $(T^\frak{s}//W^\frak{s})_2$는 주요 시리즈 내 기약 표현의 구체적이고 계산 가능한 매개변수화를 제공한다.
• 주요 시리즈 내 두 표현이 같은 L-패킷에 속해 있음과 동치인 조건은 동일한 유니포텐트 군류 레이블과 모든 $z \in \mathbb{C}^\times$에 대해 동일한 $\theta_z$-값을 공유함이다.
• 웨일 군 $W^\frak{s}$는 표준 웨일 군 작용을 비연결 군으로 일반화한 형태인 반직접곱 $\mathcal{W}^{H_0^\frak{s}} \rtimes \pi_0(H^\frak{s})$로 표현된다.
• 아핀 히드라 대수 $\mathcal{H}^\frak{s}$는 성분군이 코너지션을 통해 작용하는 확장된 아핀 히드라 대수 $\mathcal{H}(H_0^\frak{s}) \rtimes \pi_0(H^\frak{s})$로 표현된다.