[논문 리뷰] The Principle of Least Action for Fields Containing Higher Order Derivatives

Nguyễn Đức Minh|ArXiv.org|2008. 07. 28.

Geophysics and Gravity Measurements인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고차 도함수 라그랑지안에서 유도되는 표면 항이 최소 작용 원리에서 무시될 수 없음을 입증한다. 이러한 항들은 운동 방정식, 에너지-모멘텀 텐서, 각운동량 텐서에 직접적인 영향을 미친다. 2차원 중력과 개방 고정 끈 모형에서 경계 조건을 분석함으로써, 디리클레 조건은 중력에서는 표면 항을 억제하는 반면, 끈 이론에서는 이러한 항들이 운동 방정식을 수정하고 에너지 보존을 깨뜨리며, 이를 명시적으로 고려하지 않으면 안 된다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

When generalizing the principle of least action for fields containing higher order derivatives, in general, it is not possible not to take into account the surface integrated term since it gives direct contribution to the forms of the equations of motion,of the energy-momentum tensor and of the angular-momentum tensor. This result is applied to two examples. In two dimensional gravity, it is essential to supplement Dirichclet condition for the surface integrated terms to vanish. On the contrary, in Hamiltonian description of the open rigid string, the equation of motion is modified by surface integrated terms. Boundary conditions are classified according to forms of certain equations of motion.

연구 동기 및 목표

• 고차 도함수를 포함한 장 이론에 대해 최소 작용 원리에서 표면 적분 항의 역할을 명확히 하는 것.
• 표면 항이 존재할 경우 에너지-모멘텀 텐서와 각운동량 텐서의 정확한 형태를 유도하는 것.
• 표면 항의 영향을 억제하거나 수정하는 경계 조건을 분류하는 것.
• 표면 항이 2차원 중력과 개방 고정 끈 모형의 운동 방정식과 보존 법칙에 어떻게 영향을 미치는지 보여주는 것.

제안 방법

• 두 번째 도함수를 포함한 라그랑지안에 대해 오일러-라그랑주 방정식을 유도하며, 부분 적분을 통해 표면 항을 명시적으로 추적한다.
• 노이터 정리의 적용을 통해 에너지-모멘텀 텐서와 각운동량 텐서의 보존 흐름을 유도하며, 경계 항의 기여도를 포함한다.
• 2차원 중력에서 디리클레 경계 조건을 적용하여 표면 항을 억제하고, 표준 보존 법칙이 유지되도록 한다.
• 개방 고정 끈 이론에 특정한 경계 조건(장과 그 도함수의 변위가 0)을 적용하여, 비영인 표면 기여도를 가진 수정된 운동 방정식을 유도한다.
• 해밀토니안의 시간 도함수를 계산하여 표면 항이 포함되지 않으면 에너지가 보존되지 않음을 보여준다.
• 에너지-모멘텀 텐서의 구조와 그 시간 성분을 분석하여, 표면 항이 보존 에너지에 어떻게 영향을 미치는지 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차 도함수 장 이론에서 표면 적분 항을 최소 작용 원리에서 무시할 수 있는 경계 조건은 무엇인가?
• RQ2 표면 항은 고차 도함수를 포함한 장 이론에서 에너지-모멘텀 텐서의 형태와 그 보존에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 표준 경계 조건이 적용됨에도 불구하고 표면 항이 개방 고정 끈 모형에 남아 있는 이유는 무엇이며, 이는 운동 방정식에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 비영인 표면 항이 존재하는 시스템에서 해밀토니안 함수는 보존 에너지와 어떻게 다른가?
• RQ5 고차 도함수 장 이론에서 표면 항은 각운동량 텐서를 어떻게 수정하며, 그 보존은 경계 조건에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 2차원 중력에서는 장에 대해 디리클레 경계 조건을 적용하면 표면 적분 항이 사라지며, 이로 인해 표준 보존 법칙이 유지된다.
• 개방 고정 끈 이론에서는 표준 경계 조건이 적용되어도 표면 항이 사라지지 않으며, 이는 운동 방정식을 수정하고 난류 에너지 보존을 깨뜨린다.
• 작용 원리로부터 유도된 에너지-모멘텀 텐서에는 명시적인 표면 기여가 포함되어 있으며, 이는 시간 성분과 총 보존 에너지에 영향을 미친다.
• 해밀토니안 함수는 표면 항으로 인해 보존 에너지와 다름을 보이며, 식 (29)에서 해밀토니안의 시간 도함수가 영이 아니라는 것으로 확인된다.
• 각운동량 텐서는 표면 항에 의해 수정되며, 그 보존은 경계 조건에 따라 달라지며, 식 (10)의 경계 적분을 통해 이를 확인할 수 있다.
• 개방 고정 끈의 운동 방정식 (23)은 표면 기여로 인해 네 번째 도함수와 비선형 항을 포함하며, 이 항들은 α = 0일 때에만 사라지며, 이는 나무-구도 모델에 해당한다.