[논문 리뷰] The principle of stationary nonconservative action for classical mechanics and field theories

Chad R. Galley, David Tsang외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 09.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 10인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 고전역학 및 장이론에 대한 비보존적 작용의 변분 원리를 소개하며, 소산 및 복사 반작용과 같은 시간에 비대칭인 과정을 포함하는 하미르톤 원리의 확장이다. 자유도를 두 배로 늘리고 비보존 잠재력 $K$ 를 도입함으로써, 이 형식은 비보존력이 작용하는 운동 방정식을 유도하며, 노이터 정리의 일반화를 통해 대칭성이 수정된 비보존적 전류로 이어지는 방식을 보여준다.

ABSTRACT

We further develop a recently introduced variational principle of stationary action for problems in nonconservative classical mechanics and extend it to classical field theories. The variational calculus used is consistent with an initial value formulation of physical problems and allows for time-irreversible processes, such as dissipation, to be included at the level of the action. In this formalism, the equations of motion are generated by extremizing a nonconservative action $\mathcal{S}$, which is a functional of a doubled set of degrees of freedom. The corresponding nonconservative Lagrangian contains a potential $K$ which generates nonconservative forces and interactions. Such a nonconservative potential can arise in several ways, including from an open system interacting with inaccessible degrees of freedom or from integrating out or coarse-graining a subset of variables in closed systems. We generalize Noether's theorem to show how Noether currents are modified and no longer conserved when $K$ is non-vanishing. Consequently, the nonconservative aspects of a physical system are derived solely from $K$. We show how to use the formalism with examples of nonconservative actions for discrete systems including forced damped harmonic oscillators, radiation reaction on an accelerated charge, and RLC circuits. We present examples for nonconservative classical field theories. Our approach naturally allows for irreversible thermodynamic processes to be included in an unconstrained variational principle. We present the nonconservative action for a Navier-Stokes fluid including the effects of viscous dissipation and heat diffusion, as well as an action that generates the Maxwell model for viscoelastic materials, which can be easily generalized to more realistic rheological models. We show that the nonconservative action can be derived as the classical limit of a more complete quantum theory.

연구 동기 및 목표

• 비보존 시스템, 특히 감쇠 및 점성 소산과 같은 비가역 과정을 포함하는 하미르톤 원리의 작용 정적 원리의 확장.
• 초기 조건 문제와 시간에 비대칭인 역학과 호환되는 일관된 변분 프레임워크 개발.
• 비보존 시스템에 대해 노이터 정리를 일반화하여, $K \neq 0$ 일 때 대칭성이 수정된 비보존 전류로 이어지는 방식을 보여주기.
• 이론을 이산계(예: 감쇠 진동자, RLC 회로) 및 고전적 장이론(예: 나비에-스토크스 유체, 점탄성 물질)에 적용하기.
• 비보존 작용과 양자장이론의 고전적 극한 사이의 기본적 연결을 확립하며, 특히 in-in 형식과 영향 작용을 통해.

제안 방법

• 시간에 비대칭인 과정을 변분 프레임워크에서 기술하기 위해 자유도를 $(q, q')$ 로 이중화.
• 비보존 작용 $\mathcal{S}[q, q'] = S[q] - S[q'] + \text{Re}[S_{\text{infl}}[q, q']]$ 를 정의하며, 영향 작용의 실수부가 비보존 잠재력 $K$ 를 코딩한다.
• 비평형 양자장이론의 영향 작용을 사용하여 $K$ 를 유도하며, $K$ 가 거시적 자유도의 평균화 또는 접근 불가능한 자유도와의 결합으로 인해 발생함을 보여준다.
• 작용 $\mathcal{S}$ 를 $q$ 와 $q'$ 의 변분에 대해 극값을 구함으로써 비보존 오일러-라그랑주 방정식을 유도한다.
• 보존 전류가 $K$ 에 의해 수정되고 $K \neq 0$ 일 때 더 이상 보존되지 않음을 보여줌으로써 노이터 정리를 일반화한다.
• 이론을 물리계에 적용: 감쇠 진동자, 복사 반작용, RLC 회로, 나비에-스토크스 유체, 그리고 맥스웰 모델을 통한 점탄성 물질.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비보존 고전계에 대해 소산 및 감쇠와 같은 비가역 과정을 포함하는 변분 원리를 제시할 수 있는가?
• RQ2 특히 in-in 형식의 영향 작용을 통해 비보존 잠재력 $K$ 는 기본 양자이론에서 어떻게 도출될 수 있는가?
• RQ3 비보존력이 존재할 경우 노이터 정리는 어떻게 일반화되며, 보존량은 어떻게 변하는가?
• RQ4 이 형식은 점성 유체나 점탄성 물질과 같은 비보존적 거동를 보이는 고전적 장이론을 기술할 수 있는가?
• RQ5 비평형 양자이론의 고전적 극한은 비보존 작용을 갖는 $K$ 가 잘 정의된 형태로 이어지는가?

주요 결과

• 비보존 작용 $\mathcal{S}[q, q']$ 는 비평형 양자장이론에서 영향 작용의 고전적 극한으로 도출되며, $K = \text{Re}[S_{\text{infl}}[q, q']]$ 를 만족한다.
• 이 형식은 비보존 잠재력 $K$ 를 포함함으로써 나비에-스토크스 유체의 점성 소산을 자연스럽게 포함하며, 응력 텐서와 열확산을 생성한다.
• 점탄성 물질의 경우, 이 형식은 비보존 작용을 통해 맥스웰 모델을 도출하며, 더 복잡한 륨성 모델로 일반화 가능하다.
• 비보존 잠재력 $K$ 는 거시적 자유도의 평균화 또는 접근 불가능한 자유도와의 결합으로 인해 발생하며, 비보존력의 물리적 기원을 제공한다.
• 노이터 전류는 $K$ 에 의해 수정되며, $K \neq 0$ 일 때 더 이상 보존되지 않음을 보여주며, 이는 비보존 효과가 모두 $K$ 에 의해 완전히 기록됨을 시사한다.
• 감소된 밀도 행렬의 $\hbar \to 0$ 근사에서의 정상위상 근사가 고전적 비보존 작용 $\mathcal{S}$ 를 유도하며, 이는 양자이론의 고전적 극한과의 일관성을 확인한다.