[논문 리뷰] The probability densities of the first hitting times of Bessel processes

Yuji Hamana, Hiroyuki Matsumoto|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 지수 $\nu$ 를 가진 베셀 과정이 점 $a > b$ 에서 출발할 때, 수정 베셀 함수 $K_\nu$ 의 비율의 역 라플라스 변환을 사용하여 첫 번째 도달 시간의 명시적 확률 밀도 공식을 유도한다. 주요 기여는 밀도의 무한대에서의 점점 감소하는 행동 분석으로, $\nu = 0$ 인 경우 감소율이 $t^{-1} (\log t)^{-2}$ 의 순서이며, $\nu \neq 0$ 인 경우 $t^{-1-|\nu|}$ 의 순서임을 보여주며, 점근적 전개와 우세 수렴 정리에 의해 정확한 상수를 도출한다.

ABSTRACT

We are concerned with the first hitting times of the Bessel processes. We give explicit expressions for the densities by means of the zeros of the Bessel functions and show their asymptotic behavior.

연구 동기 및 목표

• 지수 $\nu$ 를 가진 베셀 과정이 $a > b$ 에서 출발할 때, 첫 번째 도달 시간 $\tau_{a,b}^{(\nu)}$ 의 확률 밀도를 명시적으로 유도하는 것. 이는 무한대에서 자연 경계가 존재하여 표준 고유값 전개 방법이 실패하기 때문이다.
• $t \to \infty$ 일 때 도달 시간 밀도의 점근적 행동을 분석하여, 특히 감소율과 상수를 집중적으로 고려하는 것.
• 이전의 도달 시간 라플라스 변환 결과를 확장하여, 수정 베셀 함수의 성질과 그 영점들을 이용해 이를 명시적으로 역변환하는 것.
• 수식적 표현과 우세 수렴 정리를 사용하여, 밀도의 정확한 점근적 전개를 제공하는 것. 이는 $\nu = 0$ 인 경우 로그 보정 항을 포함한다.

제안 방법

• 특수 함수 이론에 기반한 윤곽 적분 방법을 사용하여, $\tau_{a,b}^{(\nu)}$ 의 라플라스 변환을 역변환한다. 이 변환은 수정 베셀 함수 $K_\nu$ 의 비율인 $K_\nu(a\sqrt{2\lambda})/K_\nu(b\sqrt{2\lambda})$ 로 표현된다.
• 비율 $I_\mu / K_\mu$ 를 통해 정의된 함수 $L_{\mu,c}(x)$ 를 사용하여, 역 라플라스 변환을 적분 형태로 표현한다.
• 가장 낮은 경로 방법과 $L_{\mu,c}(x)$ 가 영역 $x \to 0$ 과 $x \to \infty$ 에서의 행동에 따라 적분을 영역으로 나누어 밀도를 추정한다.
• $K_0(x)$ 의 영역에서의 점근적 전개를 사용하여, $\nu = 0$ 인 경우 밀도에 $1/(\log t)^2$ 의 로그 보정 항을 도출한다. 이는 다이감마 함수를 포함하는 급수 표현에 기반한다.
• 작은 $x$ 영역에서의 적분에 대한 오차 항을 제어하기 위해 우세 수렴 정리를 적용한다.
• 함수 방정식과 감마 함수의 중복 공식을 사용하여 결과 식을 단순화함으로써, 점근적 전개의 닫힌 형식 상수를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수 $\nu$ 를 가진 베셀 과정이 $a > b$ 에서 출발할 때, 첫 번째 도달 시간의 확률 밀도 함수의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ2 다양한 $\nu$ 값에 대해, $t \to \infty$ 일 때 도달 시간 밀도가 어떻게 감소하는가? 특히 $\nu = 0$ 과 $\nu \neq 0$ 의 경우에 중점을 두어 분석한다.
• RQ3 밀도의 점근적 전개에서 정확한 상수는 무엇이며, 이는 수정 베셀 함수가 영역과 무한대에서의 행동으로 어떻게 유도되는가?
• RQ4 비율 $K_\nu(a\sqrt{2\lambda})/K_\nu(b\sqrt{2\lambda})$ 의 역 라플라스 변환은 분석 가능한 적분 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ5 수정 베셀 함수 $K_\nu$ 의 영점은 $a > b$ 경우의 도달 시간 밀도의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• $\nu = 0$ 인 경우, $t \to \infty$ 일 때 첫 번째 도달 시간 밀도는 $f_{a,b}^{(0)}(t) \sim \frac{2\log c}{t(\log t)^2}$ 로 감소하며, 여기서 $c = a/b > 1$ 이고, 다음 순서 보정 항은 $\frac{\alpha_1}{\log t}$ 이며, $\alpha_1 = 2(\gamma - \log 2 + 2\log b)$ 이다.
• $\nu \neq 0$ 인 경우, 밀도는 $f_{a,b}^{(\nu)}(t) \sim C_\nu t^{-1-|\nu|}$ 로 감소하며, 상수 $C_\nu$ 는 감마 함수와 비율 $c = a/b$ 를 사용하여 명시적으로 주어진다.
• $\nu = 0$ 인 경우의 점근적 전개는 다이감마 함수 $\psi(m+1)$ 를 포함하는 $K_0(x)$ 의 급수 전개에 기반하여, 감소율에 로그 보정 항이 포함됨을 보여준다.
• 역 라플라스 변환은 $L_{|\nu|,c}(x)$ 를 포함하는 적분 형태로 표현되며, $x \to \infty$ 일 때 지수적으로 감소하고, 영역에서 $x^{2|\nu|}$ 와 유사하게 행동하므로 정밀한 점근적 제어가 가능하다.
• 점근적 밀도의 상수 $C\_\nu$ 는 $C_\nu = \cos(\nu\pi) \frac{c^{|\nu|} - c^{-|\nu|}}{2^{2|\nu|-1} \Gamma(|\nu|) \Gamma(|\nu|+1)}$ 로 주어지며, 이는 $x \to 0^+$ 일 때 $L_{|\nu|,c}(x)/x^{2|\nu|}$ 의 극한으로 도출된다.
• 점근적 분석은 적분을 영역으로 나누고, 우세 수렴 정리를 적용하여 주로 $x \sim 0$ 근처에서의 영역에서 기여가 발생함을 보여준다. 이 영역에서 $L_{|\nu|,c}(x)$ 는 잘 정의되어 있다.