[논문 리뷰] The profinite completion of a group localised at a subgroup

Colin D. Reid|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 17.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 공명된 부분군에 국한된 군의 프로피니트 완비화를 도입하며, 원래 군 $G$를 조밀하게 포함하고 부분군 $K$의 프로피니트 완비화를 개방형 컴acts부분군으로 실현하는 완전히 이산적이고 국소적으로 컴팩트한(t.d.l.c.) 군 $ψ_G^K$를 구성한다. 주요 기여는 다음과 같은 보편 성질이다: $K$의 프로피니트 이미지를 갖는 t.d.l.c. 군으로의 $G$의 임의의 준동형은 이 완비화를 통해 유일하게 인자분해된다.

ABSTRACT

Let $G$ be a group and let $K$ be a commensurated subgroup of $G$. Then there is a totally disconnected, locally compact (t.d.l.c.) group $\hat{G}_K$ that contains the profinite completion of $K$ as an open compact subgroup and also contains $G$ (modulo the finite residual of $K$) as a dense subgroup. Moreover, given an arbitrary group $G$, then every t.d.l.c. group containing an image of $G$ as a dense subgroup can be realised as a quotient of $\hat{G}_K$ for some commensurated subgroup $K$.

연구 동기 및 목표

• 공명된 부분군을 갖는 군으로의 프로피니트 완비화 구성법을 잔여 유한군에 국한되지 않게 일반화함으로써 그 유용성을 확장한다.
• 공명된 부분군 $K$에서의 국소 프로피니트 구조를 포착하는 표준적인 t.d.l.c. 군 $ψ_G^K$를 정의한다.
• 모든 $G$에서 t.d.l.c. 군으로의 준동형이 $K$의 프로피니트 이미지를 갖는 경우, 이들이 $ψ_G^K$를 통해 유일하게 인자분해됨을 보장하는 보편 성질을 확립한다.
• 국소화된 완비화와 표준 프로피니트 완비화 사이의 관계를 명확히 하며, 특히 $K$와 $\mathrm{Comm}_G(K)$의 부분군에 대해 논의한다.

제안 방법

• 공명된 부분군 $K$의 유한지수 부분군의 필터를 고려하여, $G$의 필터에 대한 동치류를 사용해 국소화된 프로피니트 완비화 $\hat{G}_K$를 정의한다.
• $g \in G$, $N \in \mathcal{F}(K)$에 대해 기본 열린집합 $B(gN) = \{[f] \in \hat{G}_K \mid gN \in f\}$로 생성되는 군 위상으로 $\hat{G}_K$에 위상 구조를 도입하여 t.d.l.c. 군으로 만든다.
• 이미지가 조밀하고, $\theta|_K$가 $K$를 연속적으로 열린 컴팩트 부분군 $\overline{\theta(K)}$로 보내는 표준 준동형 $\theta: G \to \hat{G}_K$를 구성한다.
• 보편 성질을 증명한다: 임의의 연속 준동형 $\phi: G \to R$에 대해 $\overline{\phi(K)}$가 프로피니트이면, $\phi = \psi \circ \theta$를 만족하는 연속 준동형 $\psi: \hat{G}_K \to R$가 유일하게 존재한다.
• $\theta|_K$가 $K$의 표준 프로피니트 완비화를 유도함을 보이며, 따라서 $\hat{K}_K = \hat{K}$이며, $\overline{\theta(K)}$는 위상군으로서 $\hat{K}$와 위상동형이다.
• $\hat{G}_K$가 공명된 부분군의 선택에 관계없이 불변임을 증명한다: $K$와 $L$이 공명되면 $\hat{G}_K = \hat{G}_L$이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잔여 유한군이 아니지만 풍부한 유한 몫을 갖는 공명된 부분군을 포함하는 군에 대해 프로피니트 완비화 구성법을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 공명된 부분군 $K$에 국한된 $G$의 완비화로 얻어지는 t.d.l.c. 군이 특징지어지는 보편 성질은 무엇인가?
• RQ3 국소화된 완비화 $\hat{G}_K$는 $G$의 구조와 t.d.l.c. 군으로의 준동형들을 어느 정도 반영하는가?
• RQ4 국소화된 완비화는 $K$의 표준 프로피니트 완비화와 $\mathrm{Comm}_G(K)$와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 $\theta: G \to \hat{G}_K$ 준동형이 연속적이거나 또는 동형사상이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 국소화된 프로피니트 완비화 $\hat{G}_K$는 $G$를 조밀한 부분군으로 포함하고, $K$의 프로피니트 완비화를 개방형 컴팩트 부분군으로 갖는 t.d.l.c. 군이다.
• $\theta: G \to \hat{G}_K$ 준동형은 보편적이다: 임의의 연속 준동형 $\phi: G \to R$가 $R$가 t.d.l.c. 군이고 $\overline{\phi(K)}$가 프로피니트이면, $\phi = \psi \circ \theta$를 만족하는 연속 준동형 $\psi: \hat{G}_K \to R$가 유일하게 존재한다.
• $\theta|_K$는 $K$의 표준 프로피니트 완비화를 유도하므로 $\hat{K}_K = \hat{K}$이며, $\overline{\theta(K)}$는 위상군으로서 $\hat{K}$와 위상동형이다.
• $\theta$의 핵은 모든 유한지수의 닫힌 부분군의 교집합이며, 각각의 이러한 $N$에 대해 $\theta^{-1}(\overline{\theta(N)}) = N$이다.
• 만약 $K$와 $L$이 $G$의 공명된 부분군이면 $\hat{G}_K = \hat{G}_L$이므로, 완비화는 $K$의 공명성류에만 의존한다.
• 만약 $G$가 이산군이고 $K$가 공명된 경우, 완비화 $\hat{G}_K$는 보편 성질을 통해 $G$에서 t.d.l.c. 군으로의 모든 준동형을 반영하며, $\theta$는 $K$가 $G$에서 열린 경우에만 연속적이다.