[논문 리뷰] The Projective Hull of Certain Curves in C^2

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson외 1명|arXiv (Cornell University)|2006. 11. 15.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 ℂ² 내의 컴acts, 안정적, 실해석적 곡선 γ에 대해, 프로젝티브 헬름에서 γ를 뺀 나머지가 ℙ²−γ 내의 1차원 복소해석적 부분다양체임을 증명한다. 프로젝티브 헬름에 적응된 비숍의 유한성 추론을 사용하여, 거의 모든 복소선에 대해 헬름과의 교차가 가산적임을 보이고, 이를 통해 주요 결과로 헬름의 보다 γ에 대한 보다가 γ 위에서 지정된 경계 행동을 갖는 해석적 곡선들의 합집합임을 밝힌다.

ABSTRACT

The projective hull X^ of a subset X in complex projective space P^n is an analogue of the classical polynomial hull of a set in C^n. If X is contained in an affine chart C^n on P^n, then the affine part of X^ is the set of points x in C^n for which there exists a constant M=M_x so that |p(x)| < M^d sup{|p(y)| : y in X} for all polynomials p of degree less than or equal to d, and any d > 0. Let X^(M) be the set of points x where M_x can be chosen < M. Using an argument of E. Bishop, we show the following. Let G be a compact real analytic curve (not necessarily connected) in C^2. Then for any linear projection p: C^2 --> C^1, the set of points in G^(M) lying above a point z in C^1 is finite for almost all z. Using this, we prove the conjecture that for any compact stable real-analytic curve G in P^n, the set G^-G is a 1-dimensional complex analytic subvariety of P^n-G.

연구 동기 및 목표

• ℙⁿ에서 단순폐합 실해석적 곡선의 유한합인 γ에 대해, γ를 뺀 프로젝티브 헬름이 1차원 복소해석적 부분다양체임을 증명하는 Conjecture 1.1을 증명하기.
• 안정성 조건 하에 일반적인 복소선과의 교차가 유한함을 확립하기.
• 안정 곡선에 대해,  \widehat{\gamma} - \gamma 가 γ의 구성요소 위에 경계를 갖는 기약 해석적 곡선들의 합집합임을 보여주기.
• 비숍의 방법을 적응하여 다항볼록성의 결과를 프로젝티브 헬름으로 확장하기.

제안 방법

• 다항볼록성에서 비숍의 유한성 추론을 ℙⁿ 내의 프로젝티브 헬름 설정으로 적응시켰다.
• 모든 차수 d의 다항식 p에 대해 |p(x)| ≤ M^d sup_X |p| 를 만족하는 점 x ∈ ℂⁿ의 집합  \widehat{X}_M 을 정의하였다.
• 두 변수 다항식의 이중차수 (d,e) 개념을 도입하여 성장률을 제어하고 최대모듈러스 원리를 적용하였다.
• 각 z에 대해, z 위의 섹션을 분석하기 위해 S_M(z) = {w ∈ ℂ : |Q(z,w)| ≤ M^{d+e} sup_X |Q| for all Q of bidegree (d,e)} 를 정의하였다.
• 페데르러 평평한 지지정리와 킹의 전류에 대한 구조정리를 적용하여 해석적 구성요소의 경계 행동을 분석하였다.
• 실해석적 곡선의 복소화를 이용하여, 헬름의 구성요소 위에 매립된 리만 표면을 구성하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℂ² 내의 안정적 실해석적 곡선에 대해, γ를 뺀 프로젝티브 헬름이 1차원 복소해석적 부분다양체가 되는가?
• RQ2 거의 모든 복소선에 대해, 프로젝티브 헬름과의 교차는 유한한가, 아니면 가산적인가?
• RQ3 프로젝티브 헬름의 구조는 원래 곡선의 구성요소 위에 경계를 갖는 해석적 곡선들의 합집합으로 분해될 수 있는가?
• RQ4 안정성(상수 C_x의 유계성)이 헬름이 해석적임을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 컴팩트 실해석적 곡선 γ ⊂ ℂ² 와 선형 사영 π: ℂ² → ℂ 에 대해, 거의 모든 z ∈ ℂ 에 대해  \widehat{\gamma}_M ∩ π^{-1}(z) 는 유한집합이다.
• 거의 모든 z ∈ ℂ 에 대해  \widehat{\gamma}(z) = \bigcup_M \widehat{\gamma}_M(z) 는 가산집합이다.
• γ ⊂ ℙⁿ 이 유한개의 단순폐합 실해석적 곡선의 합이고 안정적이라면,  \widehat{\gamma} - \gamma 는 ℙⁿ − γ 내의 1차원 복소해석적 부분다양체이다.
• 각 기약 구성요소는 γ의 일부 구성요소에 사상되는 경계를 갖는 리만 표면이거나, 어떤 γ_k 의 복소화를 포함하는 대수적 곡선이다.
• 각 해석적 구성요소 V_j 의 클로저의 경계는 γ의 구성요소 γ_j 들의 합집합이며, 중복도는 1이며, 구성요소는 γ_j 의 복소화를 통해 해석적 계속을 이룬다.
• 프로젝티브 헬름  \widehat{\gamma} 는 유한한 면적과 유한한 기약 구성요소를 갖는다. 이는 일반적인 ℙ¹ 로의 사영 사영에 대한 유한겹임으로써 보여진다.