[논문 리뷰] The q-fractional analogue for Gronwall-type inequality

Thabet Abdeljawad, Jehad Alzabut|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 09.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 16인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $0 < \alpha \leq 1$ 인 Caputo 유형의 q-분수 초깃값 문제를 사용하여, q-Mittag-Leffler 함수와 q-지수적 함수를 포함하는 경계를 유도함으로써, q-분수적 그론발의 부등식에 대한 q-유사체를 수립한다. 주요 기여는 초깃값의 변화에 대한 해의 안정성을 보장하는 q-그론발 보조정리이며, 이는 시간 척도 위의 q-분수 미분방정식에 응용된다.

ABSTRACT

In this article, we utilize \emph{q}--fractional Caputo initial value problems of order $0

연구 동기 및 목표

• 고전적 그론발 유형의 부등식에 대한 q-유사체를 q-분수 미분방정식에 대해 개발하기.
• 문헌에서 아직 q-분수적 형태의 적분 부등식이 부족한 점을 다루며, 특히 Caputo 유형의 q-분수 초깃값 문제에 대해 다룬다.
• 초깃값 조건의 미세한 변화에 대한 q-분수 미분방정식의 해에 대한 안정성 결과를 수립하기.
• q-Mittag-Leffler 함수와 q-지수적 함수가 q-분수 적분 부등식의 해 경계에 어떻게 나타나는지 도입하고 분석하기.

제안 방법

• 시간 척도 $\mathbb{T}_q$ 위에서 초깃값 문제를 모델링하기 위해 $0 < \alpha \leq 1$ 인 q-분수 Caputo 미분을 사용한다.
• 좌측 q-분수 적분 연산자 ${}_q\nabla_a^{-\alpha}$ 를 적용하여 미분 부등식을 적분 형태로 변환한다.
• 반복된 q-적분을 통해 정의된 연산자 $\Omega_\mu$ 를 도입하여 해 경계의 반복 근사치를 생성한다.
• q-감마 함수 $\Gamma_q(\alpha)$ 와 q-계승 함수를 사용하여 q-Mittag-Leffler 함수와 q-지수적 함수를 정의한다.
• 반복 구조 $\Omega_\mu^k 1$ 의 고정점 성격을 활용하여 해 수열의 수렴성과 유계성을 도출한다.
• 초깃값 문제의 간소화를 위해 $0 < \alpha \leq 1$ 에 대해 ${}_q\nabla^{-\alpha}_a {}_qC_a^\alpha f(t) = f(t) - f(a)$ 인 식을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Caputo 유형의 q-분수 초깃값 문제에 대해 그론발의 부등식에 대한 q-유사체를 도출할 수 있는가?
• RQ2 q-Mittag-Leffler 함수와 q-지수적 함수는 q-분수 적분 부등식의 해 경계에 어떻게 등장하는가?
• RQ3 q-분수 설정에서 반복 경계 $\sum_{k=0}^\infty \Omega_\mu^k 1$ 의 수렴성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 유도된 부등식이 q-분수 시스템에서 해가 초깃값에 대해 연속적으로 의존함을 어느 정도 보장하는가?
• RQ5 q-그론발 부등식이 $\alpha = 1$ 일 때 어떻게 고전적 q-그론발 보조정리로 축소되는가?

주요 결과

• $0 < \alpha \leq 1$ 에 대해 q-분수 그론발 유형의 부등식이 수립되었으며, 조건 $v(t) \leq v(a) + {}_q\nabla_a^{-\alpha} v(t) \mu(t)$ 를 만족할 경우 $v(t) \leq v(a) \sum_{k=0}^\infty \Omega_\mu^k 1$ 이 성립함을 증명하였다.
• $\alpha = 1$ 일 경우 부등식은 $v(t) \leq v(a) e_q(t,a)$ 로 간소화되며, 여기서 $e_q(t,a)$ 는 나브라 q-지수적 함수이며, 고전적 q-그론발 보조정리를 복원한다.
• 조건 $\mu(t) < \frac{1}{t^\alpha (1-q)^\alpha}$ 를 만족할 경우, 시리즈 $\sum_{k=0}^\infty \Omega_\mu^k 1$ 의 수렴성이 보장되어 해 경계의 유계성을 확보한다.
• q-분수 초깃값 문제의 해는 초깃값에 대해 연속적으로 의존한다: $\gamma_n \to \gamma$ 이면 $|\varphi(t) - \phi_n(t)| \to 0$ 이 $\Lambda_a$ 위에서 균일하게 수렴한다.
• 해의 안정성은 $|\varphi(t) - \psi(t)| \leq |\gamma - \beta| \sum_{i=0}^\infty {}_q\Omega_L^i 1 = |\gamma - \beta| {}_q\Omega_\alpha(L, t-a)$ 를 통해 정량화되며, 이는 초깃값의 변화에 대한 해의 안정성을 나타낸다.
• 연산자 $\Omega_\mu$ 는 반복된 q-적분을 통해 정의되며, $\Omega_\mu^k 1(t) = \int_a^t \cdots \int_a^{t_{k-1}} \mu(t_1) \cdots \mu(t_k) \nabla_q t_k \cdots \nabla_q t_1$ 를 만족하여 해 경계의 재귀적 추정을 가능하게 한다.