[논문 리뷰] The Q-Picard group of the moduli space of curves in positive characteristic

Atsushi Moriwaki|ArXiv.org|2000. 12. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 정수체의 양의 특성수를 가진 대수적으로 닫힌 체 위에서 균형 잡힌 g-성질 n-점 가진 곡선의 모듈리 공간의 ℚ-Picard 군이 타우토로지컬 클래스들—구체적으로는 Hodge 클래스 λ, ψ-클래스 ψ₁,…,ψₙ, 및 경계 클래스 δₜ—에 의해 생성됨을 증명한다. 증명은 모듈로 p 환원과 Teichmüller 수준 구조를 통한 에탈 코hom로지와 유클리드 코hom로지의 비교를 이용하며, 2차 에탈 코hom로지로의 사이클 맵의 전단사성을 확립한다.

ABSTRACT

In this note, we prove that the Q-Picard group of the moduli space of n-pointed stable curves of genus g over an algebraically closed field is generated by the tautological classes. We also prove that the cycle map to the 2nd etale cohomology group is bijective.

연구 동기 및 목표

• 특성수가 0인 곡선의 모듈리 공간에 대한 Harer의 ℚ-Picard 군 결과를 양의 특성수로 확장하는 것.
• 모든 대수적으로 닫힌 체 위에서 M̄_{g,n}의 ℚ-Picard 군이 타우토로지컬 클래스들에 의해 생성됨을 확립하는 것.
• ℚ-Picard 군에서 두 번째 에탈 코hom로지 군 H²_{ét}(M̄_{g,n}, ℚℓ)로의 사이클 맵의 전단사성을 증명하는 것.
• 모듈로 p 환원과 Teichmüller 수준 구조를 이용하여 특성수가 0인 경우와 양의 특성수인 경우의 에탈 코hom로지와 유클리드 코호모로지를 비교하는 것.

제안 방법

• 모듈로 p 환원을 이용하여 양의 특성수에서의 모듈리 공간 기하학을 복소수에 대응하는 것과 연결하는 것.
• Teichmüller 수준 구조를 이용한 매끄러운 갈루아 코팅을 통해 에탈 코호모로지 군 H²_{ét}(M̄_{g,n}(k), ℚℓ)과 유클리드 코호모로지 H²(M̄_{g,n}(ℂ), ℚ)를 비교하는 것.
• Boggi-Pikaart의 결과에 따라 수준 m ≥ 3인 모듈리 공간이 단순 연결임을 활용하여 사이클 맵의 단사성을 보장하는 것.
• 이산 평가환의 모델의 특수 섹션에서의 교차 이론을 제어하기 위해 Zariski의 보조정리(정수 스킴에 대한)를 활용하는 것.
• 프로젝티브 다양체에서 수치적 등식과 대수적 등식이 유리수 계수에서 일치한다는 사실을 이용하여 NS(X)⊗ℚ와 NSν(X)⊗ℚ를 동일시하는 것.
• 사이클 맵 Pic(M̄_{g,n})⊗ℚℓ → H²_{ét}(M̄_{g,n}, ℚℓ)과 그 전단사성의 증명을 차원 비교와 단사성에 기반하여 수행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수체의 양의 특성수를 가진 대수적으로 닫힌 체 위에서, g-성질 n-점 가진 안정 곡선의 모듈리 공간의 ℚ-Picard 군이 여전히 타우토로지컬 클래스들에 의해 생성되는가?
• RQ2 양의 특성수 체 위에서 ℚ-Picard 군에서 두 번째 에탈 코호모로지 군으로의 사이클 맵이 전단사적인가?
• RQ3 모듈로 p 환원 기법을 통해 특성수가 0인 경우의 ℚ-Picard 생성 결과를 양의 특성수로 확장할 수 있는가?
• RQ4 양의 특성수에서의 모듈리 공간의 에탈 코호모로지가 그 복소 해석적 대응과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 Teichmüller 수준 구조는 특성수 간의 코호모로지 이론 비교에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 대수적으로 닫힌 체 k 위에서 M̄_{g,n}의 ℚ-Picard 군은 타우토로지컬 클래스들인 λ, ψ₁,…,ψₙ, 및 t ∈ T에 대해 δₜ에 의해 생성된다.
• 모든 ℓ이 k에서 가역일 때, 사이클 맵 Pic(M̄_{g,n})⊗ℚℓ → H²_{ét}(M̄_{g,n}, ℚℓ)는 전단사적이다.
• 에탈 코호모로지 군 H²_{ét}(M̄_{g,n}(k), ℚℓ)의 차원은 복소 해석적 코호모로지 군 H²(M̄_{g,n}(ℂ), ℚ)의 차원 이하로 유계된다.
• 수준 m ≥ 3인 구조를 가진 모듈리 공간의 단순 연결성에 기반하여 사이클 맵의 단사성이 유도된다.
• 코호모로지 비교를 통해 타우토로지컬 클래스들 간의 유리수 계수에서의 일차 독립성이 확립된다.
• 기저 체의 특성에 관계없이 결과가 성립하며, 이는 Harer의 특성수가 0인 결과를 양의 특성수로 확장한다.