[논문 리뷰] The Quantum Approximate Optimization Algorithm Needs to See the Whole Graph: Worst Case Examples

Edward Farhi, David Gamarnik외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 18.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 9인용 수 55

한 줄 요약

짧은 깊이에서의 QAOA 성능은 무작위 d-정규 그래프의 로컬 이웃이 지배하기 때문에 한정된다. 특히 bipartite 무작위 d-정규 그래프는 Max-Cut에 대해 최대 1/2의 근사치만을 허용하고, d에 의존하는 MIS 근사치는 d가 커질수록 0으로 수렴한다.

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm can be applied to search problems on graphs with a cost function that is a sum of terms corresponding to the edges. When conjugating an edge term, the QAOA unitary at depth p produces an operator that depends only on the subgraph consisting of edges that are at most p away from the edge in question. On random d-regular graphs, with d fixed and with p a small constant time log n, these neighborhoods are almost all trees and so the performance of the QAOA is determined only by how it acts on an edge in the middle of tree. Both bipartite random d-regular graphs and general random d-regular graphs locally are trees so the QAOA's performance is the same on these two ensembles. Using this we can show that the QAOA with $(d-1)^{2p} < n^A$ for any $A<1$, can only achieve an approximation ratio of 1/2 for Max-Cut on bipartite random d-regular graphs for d large. For Maximum Independent Set, in the same setting, the best approximation ratio is a d-dependent constant that goes to 0 as d gets big.

연구 동기 및 목표

• 그래프 기반 문제(Max-Cut 및 Maximum Independent Set)에 대한 얕은 깊이에서의 Quantum Approximate Optimization Algorithm(QAOA)의 한계에 대한 동기 부여와 분석.
• 작은 p에서 간선 수준 이웃이 QAOA 출력에 지배적이 되며, 무작위 d-정규 그래프에서 QAOA의 성능이 최적이 아님으로 이어진다는 점을 보인다.
• 이분 그래프와 일반 무작위 d-정규 그래프를 대조하여 최악의 성능 결과를 확립한다.
• (d-1)^{2p}가 o(n)일 때, QAOA가 이들 그래프에서 MC와 MIS에 대해 알려진 상한을 넘어서는 근사치를 낼 수 없음을 강조한다.

제안 방법

• MC와 MIS의 비용 함수와 QAOA 하의 간선-로컬 기여를 d-정규 그래프에 대해 표현한다.
• U(C,γ)의 국소성에 의해 목적 함수가 간선의 p-이웃에 의해서만 의존한다고 주장한다.
• 무작위 d-정규 그래프의 경우 (d-1)^{2p}<n^{A}인 경우 A<1인 경우에 거의 모든 간선 p-이웃이 트리이며, 이를 통해 트리 기반의 성능 상한을 가능하게 한다.
• QAOA의 기대값을 큰 무작위 d-정규 그래프에서 MC의 최적해 ρ_d와 MIS의 최적해 σ_d와 연결한다.
• 이분 무작위 d-정규 그래프에 대한 QAOA 비용 기대값의 상한을 도출하고 최악의 근사 비율과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 얕은 깊이 p에서 무작위 d-정규 그래프에서 Max-Cut과 Maximum Independent Set에 대해 QAOA의 성능 한계는 무엇인가?
• RQ2 일반 무작위 d-정규 그래프와 비교했을 때 bipartite 무작위 d-정규 그래프에 한정하는 것이 QAOA의 결과에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 트리와 같은 p-이웃이 QAOA가 최적 해에 다가가는 능력을 어느 정도 결정하는가?
• RQ4 MC와 MIS에 대한 알려진 점근적 최적해가 QAOA의 간선 수준 기여도와 전체 근사 비율을 어떻게 제한하는가?

주요 결과

• p = o(log n)인 무작위 d-정규 그래프에서는 거의 모든 간선 p-이웃이 트리이므로 QAOA 성능은 트리-간선 분석에 의해 지배된다.
• 이분 무작위 d-정규 그래프에서 트리-와 같은 이웃이 있더라도 Max-Cut 값은 완벽하게 만족가능할 수 있지만, QAOA는 큰 d에 대해 근사 비율이 1/2를 넘지 않는 경계에 머문다.
• 같은 그래프들에서 얕은 깊이에 대한 MIS의 최적 근사 비율은 d에 의존하는 상수이며 d가 커질수록 0으로 수렴한다.
• MC와 MIS에 대한 QAOA 기대값은 트리-간선 기여도의 nd/2 배로 한정되며, 따라서 Ex[⟨s|U†CU|s⟩] ≤ ρ_d n + O(n^{A'}) 및 ≤ σ_d n + O(n^{A'})로 각각 한정되며, ρ_d와 σ_d는 그래프의 최적해와 관련이 있다.
• 따라서 이분 무작위 d-정규 그래프에서 QAOA는 MC에 대해 2ρ_d/d + O(n^{A'-1})보다 나은 근사 비율을 달성할 수 없고 MIS에 대해서는 2σ_d + O(n^{A'-1})이며, ρ_d ≤ d/4 + O(√d)로 커진 d에 대해 비율이 거의 1/2에 근접하고, σ_d는 d가 커질수록 감소한다.
• 결과는 깊이 p가 상수배의 log n을 넘지 않는 경우에 대해 증명되며, 그 이상 깊이에서는 현재의 주장들이 적용되지 않으며 그래프 전체를 보는 효과가 성능에 영향을 줄 수 있다.