[논문 리뷰] The Quantum Approximate Optimization Algorithm performance with low entanglement and high circuit depth

Rishi Sreedhar, Pontus Vikstål외 4명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 최대 컷(MaxCut) 및 정확한 커버 3(Exact Cover 3) 문제에 대해 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)에서 얽힘의 역할을 매트릭스 곱 상태(MPS) 시뮬레이션을 통해 조사한다. 이는 얽힘을 제한하기 위해 유한한 결합 차수 D를 사용한다. 연구 결과, QAOA는 낮은 얽힘(D ≈ 10)과 중간 정도의 회로 깊이(p ≈ 30)에서도 거의 최적의 성능를 달성하며, 이는 성공에 있어 얽힘이 필수적인 자원이 아님을 시사한다. 또한, 저차수 D 시뮬레이션에서 유추된 매개변수는 정확한 최적 매개변수와 매우 유사하며, 이는 QAOA의 효율적인 고전적 사전 훈련을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Variational quantum algorithms constitute one of the most widespread methods for using current noisy quantum computers. However, it is unknown if these heuristic algorithms provide any quantum-computational speedup, although we cannot simulate them classically for intermediate sizes. Since entanglement lies at the core of quantum computing power, we investigate its role in these heuristic methods for solving optimization problems. In particular, we use matrix product states to simulate the quantum approximate optimization algorithm with reduced bond dimensions $D$, a parameter bounding the system entanglement. Moreover, we restrict the simulation further by deterministically sampling solutions. We conclude that entanglement plays a minor role in the MaxCut and Exact Cover 3 problems studied here since the simulated algorithm analysis, with up to $60$ qubits and $p=100$ algorithm layers, shows that it provides solutions for bond dimension $D \approx 10$ and depth $p \approx 30$. Additionally, we study the classical optimization loop in the approximated algorithm simulation with $12$ qubits and depth up to $p=4$ and show that the approximated optimal parameters with low entanglement approach the exact ones.

연구 동기 및 목표

• 변량 양자 알고리즘(QAOA 등)이 최적화 문제에서 성능을 내기 위해 얽힘이 필수적인 자원인지 여부를 조사하는 것.
• 매트릭스 곱 상태의 결합 차수 D를 통해 제한된 얽힘의 영향을 최대 컷 및 정확한 커버 3 문제의 QAOA 성공률에 미치는 영향을 평가하는 것.
• 저양자 얽힘 조건에서의 고전적 시뮬레이션을 통해 최적 QAOA 매개변수의 정확한 근사치를 도출할 수 있는지 여부를 판단하는 것.
• 감소된 얽힘과 높은 회로 깊이(p 최대 100) 조건에서 QAOA 성능의 확장성과 내성에 대한 평가

제안 방법

• 결합 차수 D를 낮춘 MPS를 사용해 QAOA를 시뮬레이션하여 얽힘을 제한하고, 최대 60 큐비트 및 p=100 층까지 고전적으로 다룰 수 있는 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 계산 비용을 줄이면서도 해의 품질에 대한 통계적 의미를 유지하기 위해 결정론적 샘플링을 적용한다.
• 낮은 D의 MPS 표현을 위한 비용 함수 근사 표면에서 매개변수를 최적화하기 위해 밀도 행렬 재정렬 그룹(DMRG) 알고리즘을 사용한다.
• 저차수 D 시뮬레이션에서 유도된 근사 최적 매개변수(γ, β)를 전수 D(D=64) 시뮬레이션에서의 정확한 매개변수와 비교하여 정확도를 평가한다.
• p=1에서 4까지의 깊이에서 100개의 MaxCut 인스턴스에 대해 표준 QAOA(D=64)에 대해 정규화된 성공률의 통계 분포를 분석한다.
• 다양한 결합 차수에서 최적 매개변수의 패턴을 분석하여 QAOA 훈련에 사용할 수 있는 이식 가능한 초기 안사제를 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매트릭스 곱 상태 시뮬레이션에서 낮은 결합 차수 D로 인한 얽힘 제한이 QAOA 성능에 심각한 영향을 미치는가?
• RQ2 낮은 얽힘 시뮬레이션(D ≈ 10)이 높은 회로 깊이(p ≈ 100)에서도 최대 컷 및 정확한 커버 3 문제에서 거의 최적의 해 품질을 달성할 수 있는가?
• RQ3 저차수 MPS 시뮬레이션에서 유도된 최적 QAOA 매개변수(γ, β)가 전수 D 시뮬레이션에서의 정확한 최적 매개변수와 어느 정도 유사한가?
• RQ4 낮은 결합 차수 조건에서 다양한 회로 깊이(p=2에서 4)에 걸쳐 최적 매개변수의 패턴이 유지되는가? 이는 고전적 사전 훈련 가능성을 시사하는가?
• RQ5 저차수 시뮬레이션에서 유도된 근사 매개변수를 정확한 시뮬레이션에 사용했을 때 표준 QAOA와 유사한 성공률을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• QAOA는 최대 컷 및 정확한 커버 3 문제에서 D ≈ 10의 결합 차수를 가진 상태에서도 p=100의 높은 회로 깊이에서도 거의 최적의 성능를 달성하며, 이는 성공에 있어 얽힘이 주요 자원이 아님을 시사한다.
• p=3 및 p=4일 때, 저차수 시뮬레이션(D≥12)에서 유도된 최적 매개변수는 10개의 MaxCut 인스턴스 중 9개에서 정확한 최적 매개변수와 매우 유사하며, 높은 매개변수 정확도를 보인다.
• 저차수 시뮬레이션에서 유도된 매개변수를 사용한 QAOA의 중앙값 성공률은 표준 QAOA 성능의 약 50%에 이를 정도로 높으며, 유리한 매개변수 초기화로 인해 일부 인스턴스는 100%를 초과하기도 한다.
• D≥12인 경우, 다양한 회로 깊이(p=2에서 4)에 걸쳐 최적 매개변수의 패턴이 안정적으로 유지되며, 이는 QAOA 안사제의 고전적 사전 훈련 가능성을 시사한다.
• 표준 QAOA에 대해 정규화된 성공률은 중간 수준의 결합 차수(D≈12)에서 정확한 값을 향해 수렴하며, 이는 더 이상의 얽힘 증가가 수익 감소를 초래함을 시사한다.
• 낮은 얽힘 조건에서도 QAOA의 고전적 최적화 루프는 효과적으로 유지되며, 특히 D≥12일 경우 저차수 시뮬레이션에서 유도된 최적 매개변수의 수렴 정도가 정확한 값과 매우 유사하다.