[논문 리뷰] The Quantum Complexity of Computing Schatten $p$-norms

Chris Cade, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 27인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 행렬의 샤텐 p-노름을 계산하는 양자 복잡도를 조사하며, 정확도가 중간 수준일 경우, 로그-로컬 n-qubit 하미르토니안 A와 p = poly(n)에 대해 Tr(|A|p)를 추정하는 것은 한 개의 청소된 큐비트 모델(DQC1)에 포함됨을 보여주고, 더 높은 정확도가 요구될 경우 DQC1-하드가 됨을 밝힘. 양자 알고리즘은 희박한 행렬과 파wr-법 그래프에 대해 고전적 방법에 비해 상당한 속도 향상을 이룸. 특히 특정 그래프 클래스에 대해 정확도에서 제곱근 수준의 향상이 이루어짐.

ABSTRACT

We consider the quantum complexity of computing Schatten p-norms and related quantities, and find that the problem of estimating these quantities is closely related to the one clean qubit model of computation. We show that the problem of approximating Tr(|A|^p) for a log-local n-qubit Hamiltonian A and p=poly(n), up to a suitable level of accuracy, is contained in DQC1; and that approximating this quantity up to a somewhat higher level of accuracy is DQC1-hard. In some cases the level of accuracy achieved by the quantum algorithm is substantially better than a natural classical algorithm for the problem. The same problem can be solved for arbitrary sparse matrices in BQP. One application of the algorithm is the approximate computation of the energy of a graph.

연구 동기 및 목표

• 행렬의 샤텐 p-노름을 추정하는 데 있어 양자 계산 복잡도를 특성화하는 것.
• 샤텐 p-노름 추정과 한 개의 청소된 큐비트 모델(DQC1) 간의 관계를 규명하는 것.
• 그래프 에너지와 같은 스펙트럼 양을 추정하는 데 있어 양자 우월성을 탐색하는 것.
• 희박한 행렬과 파워-법 그래프에 대해 양자 알고리즘의 성능을 고전적 방법과 비교하는 것.

제안 방법

• 오차 한계를 제어할 수 있는 방법으로 로그-로컬 하미르토니안 A의 진화를 시뮬레이션하기 위해 리-트로터 곱공식을 사용함.
• 유니버설 게이트 세트로 유니터리 연산을 분해하기 위해 솔로바이-키타에프 정리를 적용함.
• A로부터 유도된 유니터리 행렬의 정규화된 트레이스를 추정하기 위해 DQC1 모델을 활용함으로써 Tr(|A|p)의 추정이 가능해짐.
• f(x) = xp와 g(x) = |x|p의 리프시츠 연속성을 활용하여 스펙트럼 함수 추정에서의 근사 오차를 제한함.
• 제어된 유니터리 연산과 하다르드 테스트를 통해 샤텐 p-노름 추정 문제를 트레이스 추정으로 환원함.
• 그래프의 에너지를 추정하기 위해 인접행렬의 최대 고유값과 연결하여 알고리즘을 적용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 p 값과 행렬 유형에 대해 샤텐 p-노름 추정이 DQC1 모델에 포함되는가?
• RQ2 계산 복잡도 측면에서 샤텐 p-노름 추정과 한 개의 청소된 큐비트 모델 간의 관계는 어떠한가?
• RQ3 희박한 행렬에 대해 Tr(|A|p)와 같은 스펙트럼 함수를 추정할 때, 양자 알고리즘이 고전적 알고리즘보다 증명 가능한 우월성을 보일 수 있는가?
• RQ4 그래프의 에너지 추정에서의 양자 우월성은 특히 파워-법 그래프에서 그래프의 차수 분포에 따라 어느 정도에 의존하는가?
• RQ5 희박한 행렬의 영역에서 양자 알고리즘의 정확도는 고전적 방법과 비교해 어떻게 되는가?

주요 결과

• 정확도가 일정 임계값 이내일 경우, 로그-로컬 n-큐비트 하미르토니안 A와 p = poly(n)에 대해 Tr(|A|p)를 추정하는 것은 DQC1에 포함됨.
• 더 높은 정확도가 요구될 경우 동일한 문제는 DQC1-하드가 되며, 이는 한 개의 청소된 큐비트 모델의 전반적인 능력을 포괄함을 시사함.
• 임의의 희박한 행렬에 대해 Tr(|A|p)를 추정하는 문제는 BQP에서 해결 가능함을 보여주며, 더 넓은 양자 우월성을 입증함.
• 지수 β > 2.5인 파워-법 그래프에 대해, 최대 차수 d가 평균 차수에 비해 충분히 클 경우, 양자 알고리즘이 고전적 방법에 비해 정확도에서 제곱근 수준의 향상을 이룸.
• β ∈ (2.5, 3)인 파워-법 그래프에 대해서는 유의미한 우월성이 있으나, 제곱근 수준은 아님. β < 2.5일 경우 우월성은 감소함.
• 알고리즘은 희박하고 스케일-프리 네트워크에 대해 유리하게 스케일링되는 효율적인 그래프 에너지 근사 계산을 가능하게 함.