[논문 리뷰] The quantum low-rank approximation problem

Nic Ezzell, Zoë Holmes외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 02.

Sparse and Compressive Sensing Techniques인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 밀도 행렬에 대해 양자 저질서 근사 문제(QLRAP)를 수립하며, 주어진 상태 $\rho$ 에 대해 힐베르트-슈미트 거리 또는 트레이스 거리 중 하나를 최소화하는 최적의 저질서 양자 상태 $\sigma$ 를 구한다. 힐베르트-슈미트 거리의 경우 고유값의 순서를 유지하는 유일한 최적 해 $\sigma^* = \tau_R + N_R$ 를 도출하며, 이는 변량 최적화를 통한 신뢰할 수 있는 주성분 분석(PCA)을 근접한 양자 컴퓨터에서 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider a quantum version of the famous low-rank approximation problem. Specifically, we consider the distance $D(ρ,σ)$ between two normalized quantum states, $ρ$ and $σ$, where the rank of $σ$ is constrained to be at most $R$. For both the trace distance and Hilbert-Schmidt distance, we analytically solve for the optimal state $σ$ that minimizes this distance. For the Hilbert-Schmidt distance, the unique optimal state is $σ= τ_R +N_R$, where $τ_R = Π_R ρΠ_R$ is given by projecting $ρ$ onto its $R$ principal components with projector $Π_R$, and $N_R$ is a normalization factor given by $N_R = \frac{1- ext{Tr}(τ_R)}{R}Π_R$. For the trace distance, this state is also optimal but not uniquely optimal, and we provide the full set of states that are optimal. We briefly discuss how our results have application for performing principal component analysis (PCA) via variational optimization on quantum computers.

연구 동기 및 목표

• 목표 양자 상태 $\rho$ 와 질서가 $R$ 이하인 저질서 상태 $\sigma$ 간의 거리 최소화를 통해 양자 저질서 근사 문제(QLRAP)를 수식화하는 것.
• 힐베르트-슈미트 거리와 트레이스 거리 두 가지 거리 척도에 따른 최적 해 분석.
• 주성분 분석(PCA)에 적합한 물리적으로 의미 있는 유일한 해를 제공하는 거리 척도 파악.
• 변량 양자 알고리즘을 통한 PCA를 가능하게 하기 위해, 주성분을 신뢰성 있게 추출할 수 있는 비용 함수 식별.

제안 방법

• 질서 제약 조건 $\rank(\sigma) \leq R$ 하에 $D_{HS}(\rho, \sigma) = \|\rho - \sigma\|_F^2$ 또는 $D_{\operatorname{tr}}(\rho, \sigma) = \|\rho - \sigma\|_1$ 의 최소화를 통한 QLRAP 수식화.
• 스펙트럼 분해를 이용한 최적 $\sigma^*$ 의 해석적 유도: $\sigma^* = \tau_R + N_R$, 여기서 $\tau_R = \Pi_R \rho \Pi_R$ 이고 $N_R = \frac{1 - \Tr(\tau_R)}{R} \Pi_R$.
• 힐베르트-슈미트 해는 유일하고 고유값 순서를 유지하지만, 트레이스 거리 해는 다중해를 가지며 순서를 유지하지 않을 수 있음.
• 주성분을 최적화를 통해 추출할 수 있도록, 변량 양자 알고리즘에서 힐베르트-슈미트 거리를 비용 함수로 제안.
• 파괴적 스위프 테스트를 사용하여 양자 하드웨어에서 $\Tr(\rho^2)$, $\Tr(\sigma^2)$, $\Tr(\rho\sigma)$ 를 효율적으로 추정함으로써 $D_{HS}(\rho, \sigma)$ 의 추정을 가능하게 함.
• 최적화 후 주성분을 추출할 수 있도록, $\sigma$ 의 순수화를 준비하거나 고전적 난수를 사용해 고유벡터를 준비하는 변량 회로 설계.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 질서 제약 조건 $\rank(\sigma) \leq R$ 하에 주어진 밀도 행렬 $\rho$ 와의 힐베르트-슈미트 거리를 최소화하는 최적의 저질서 양자 상태 $\sigma$ 는 무엇인가?
• RQ2 힐베르트-슈미트 거리 대비 트레이스 거리로 사용할 경우, 양자 저질서 근사 문제의 해는 어떻게 다를까?
• RQ3 힐베르트-슈미트 거리는 변량 양자 알고리즘에서 양자 주성분 분석(PCA)을 위한 신뢰할 수 있는 비용 함수로 사용될 수 있는가?
• RQ4 최적 해는 원래 상태 $\rho$ 의 고유값 순서를 유지하는가? 이는 PCA 에서 왜 중요한가?
• RQ5 트레이스 거리의 해가 다중해를 가지는 것이 양자 데이터 압축 및 양자 기계학습에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 힐베르트-슈미트 거리를 최소화하는 최적 상태는 $\sigma^* = \tau_R + N_R$ 로 유일하게 주어지며, 여기서 $\tau_R = \Pi_R \rho \Pi_R$ 는 $\rho$ 를 그 $R$ 개의 최대 고유모드에 투영한 것이다.
• 힐베르트-슈미트 해는 $\rho$ 의 고유값 순서를 유지하므로 주성분의 정확한 식별을 보장한다.
• 트레이스 거리 해는 유일하지 않으며, 최소 거리를 달성하는 다중해의 가족이 존재할 수 있어 고유값 순서가 유지되지 않을 수 있다.
• 유일하고 순서가 보존되는 해를 제공하며, 양자 추정이 효율적인 점을 감안할 때, 힐베르트-슈미트 거리는 트레이스 거리보다 양자 PCA 에 더 적합하다.
• 최적 상태 $\sigma^*$ 는 $D_{HS}(\rho, \sigma)$ 를 기반으로 한 비용 함수를 사용해 근접한 양자 하드웨어에서 변량적으로 준비할 수 있어 자원 효율적인 PCA 를 가능하게 한다.
• 이 해는 높은 질서의 $\rho$ 를 저질서의 $\sigma^*$ 로 근사함으로써 양자 상태의 효율적 압축을 가능하게 하며, 큐비트 및 회로 자원 요구량을 줄인다.