[논문 리뷰] The quantum query complexity of approximating the median and related statistics

Ashwin Nayak, Felix Wu|ArXiv.org|1998. 04. 29.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 12인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 n개의 수로 이루어진 수열에서 중앙값 및 관련 통계량을 근사하는 데 필요한 양자 질의 복잡도를 규명한다. 다항식 방법을 사용하여, ε-근사 중앙값을 계산하는 데 필요한 질의 수의 날카운 하한을 Ω(min{1/ε, n})으로 증명하고, O((1/ε) log(1/ε) log log(1/ε))의 질의 수를 달성하는 양자 알고리즘을 제시함으로써, 이 문제와 유사한 작업들—예를 들어 k번째로 작은 원소나 평균 근사—에 대해 거의 최적임을 보여준다.

ABSTRACT

Let X = (x_0,...,x_{n-1})$ be a sequence of n numbers. For ε> 0, we say that x_i is an ε-approximate median if the number of elements strictly less than x_i, and the number of elements strictly greater than x_i are each less than (1+ε)n/2. We consider the quantum query complexity of computing an ε-approximate median, given the sequence X as an oracle. We prove a lower bound of Ω(\min{{1/ε},n}) queries for any quantum algorithm that computes an ε-approximate median with any constant probability greater than 1/2. We also show how an ε-approximate median may be computed with O({1/ε}\log({1\/ε}) \log\log({1/ε})) oracle queries, which represents an improvement over an earlier algorithm due to Grover. Thus, the lower bound we obtain is essentially optimal. The upper and the lower bound both hold in the comparison tree model as well. Our lower bound result is an application of the polynomial paradigm recently introduced to quantum complexity theory by Beals et al. The main ingredient in the proof is a polynomial degree lower bound for real multilinear polynomials that ``approximate'' symmetric partial boolean functions. The degree bound extends a result of Paturi and also immediately yields lower bounds for the problems of approximating the kth-smallest element, approximating the mean of a sequence of numbers, and that of approximately counting the number of ones of a boolean function. All bounds obtained come within polylogarithmic factors of the optimal (as we show by presenting algorithms where no such optimal or near optimal algorithms were known), thus demonstrating the power of the polynomial method.

연구 동기 및 목표

• n개의 수로 이루어진 수열에서 ε-근사 중앙값을 계산하는 데 필요한 양자 질의 복잡도를 규명하는 것.
• 다른 문제들—예를 들어 k번째로 작은 원소, 평균, 부울 함수에서 1의 개수 세기—로 분석을 확장하는 것.
• 양자 질의 복잡도에서 다항식 방법을 사용하여 날카운 하한과 상한을 확립하는 것.
• 대칭 부분 부울 함수에 대해 최적 또는 거의 최적의 경계를 증명하는 데 다항식 프레임워크의 힘을 보여주는 것.

제안 방법

• 대칭 부분 부울 함수에 다항식 방법을 적용하여, 이러한 함수를 근사하는 실계수 다항식의 차수 하한을 구한다.
• Paturi의 결과를 일반화하여 대칭 함수를 근사하는 다항식의 차수에 대한 하한을 도출한다.
• 다항식 차수의 하한을 다항식 방법 프레임워크를 통해 양자 질의 복잡도 하한으로 변환한다.
• Grover의 검색에 영감을 받은 양자 알고리즘을 사용하여 상한을 구성하고, O((1/ε) log(1/ε) log log(1/ε))의 질의 수를 달성하도록 최적화한다.
• k번째로 작은 원소나 평균 근사와 같은 문제들에 대한 분석을, 중앙값 근사 문제로 환원함으로써 확장한다.
• 경계가 비교 트리 모델과 양자 질의 모델 양쪽 모두에서 날카롭게 유지됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상수 성공 확률을 가진 양자 알고리즘이 ε-근사 중앙값을 계산하기 위해 필요한 최소 질의 수는 얼마인가?
• RQ2 중앙값 근사의 양자 질의 복잡도는 고전적 복잡도와 비교해 어떻게 되며, 크게 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 다항식 방법을 확장하여, k번째로 작은 원소나 평균과 같은 다른 대칭 통계량을 근사하는 데 하한을 유도할 수 있는가?
• RQ4 부울 함수에서 1의 개수를 근사하는 데 최적의 양자 질의 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 중앙값 근사의 하한을 양자 알고리즘이 따라잡을 수 있으며, 만약 가능하면 얼마나 효율적으로 수행할 수 있는가?

주요 결과

• 상수 성공 확률이 1/2를 초과하는 어떤 양자 알고리즘도 ε-근사 중앙값을 계산하기 위해 Ω(min{1/ε, n})의 질의 수를 필요로 함을 증명했다.
• ε-근사 중앙값을 계산하기 위해 O((1/ε) log(1/ε) log log(1/ε))의 질의 수를 달성하여, Grover의 이전 알고리즘보다 향상된 결과를 얻었다.
• 상한이 다항로그 인자까지는 하한과 일치하므로, 하한이 본질적으로 최적임을 보였다.
• 동일한 방법을 통해 k번째로 작은 원소, 수열의 평균, 부울 함수에서 1의 개수 근사에 대한 날카운 경계도 도출되었다.
• 결과는 양자 질의 모델뿐 아니라 고전적 비교 트리 모델에서도 유효하다.
• 다항식 방법은 여러 대칭 통계 문제에 대해 거의 최적의 경계를 제공하는 통합 프레임워크를 제공한다.