[논문 리뷰] The Queue-Hawkes Process: Ephemeral Self-Excitement

Andrew Daw, Jamol Pender|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 10.

Point processes and geometric inequalities인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 대기열 길이에 따라 강하도가 증가하고 퇴출 후 감쇠되며, 존재 기간 동안만 지속되는 일시적인 자극을 갖는 자기흥분 포인트 프로세스인 Queue-Hawkes 프로세스를 도입한다. 주요 기여는 모멘트 생성 함수를 통한 유체 및 확산 근사, 배치 스케일링된 Affine Queue-Hawkes가 하크스 프로세스로 수렴함을 보이며, 새로운 행렬 구조를 이용한 정확한 모멘트 계산이다.

ABSTRACT

In this paper we consider a self-exciting model that couples a Hawkes process and a queueing system which we call the Queue-Hawkes process. In this process the intensity responds to the queue: increasing at arrivals, dropping upon departures, and decaying between. Hence the influence of each arrival is ephemeral, as the excitement only lasts for the duration of the entity's time in system. We study this process both individually and by comparison to other processes, primarily the Hawkes process and the Affine Queue-Hawkes process, which we define as the zero-decay case of the Queue-Hawkes. Our results include showing that a batch-scaling of the Affine Queue-Hawkes process will converge to the Hawkes process. We also prove a strong law of large numbers for the non-identical and dependent inter-arrival times of the Queue-Hawkes, Hawkes, and Affine Queue-Hawkes processes. Additionally, we provide all moments of the Hawkes process and the Affine Queue-Hawkes process via a novel matrix structure. Finally, we prove fluid and diffusion limits for the Queue-Hawkes process using moment generating function techniques.

연구 동기 및 목표

• 현재 대기열 길이에 따라 강하도가 달라지고 서비스 완료 후 감쇠되는 대기열 시스템에서의 자기흥분을 모델링하기 위해.
• 자기흥분이 일시적이며 시스템 내 체류 시간에 따라 결정되는 새로운 포인트 프로세스인 Queue-Hawkes의 역학을 분석하기 위해.
• 모멘트 생성 함수 기법을 사용하여 Queue-Hawkes 프로세스의 유체 및 확산 근사 정리 수립하기 위해.
• 기존 하크스 프로세스와 Affine Queue-Hawkes 프로세스(영감쇠 극한) 간의 비교를 위해.
• 새로운 행렬 구조를 이용해 하크스 프로세스와 Affine Queue-Hawkes 프로세스의 모든 모멘트에 대한 정확한 표현 유도하기 위해.

제안 방법

• Queue-Hawkes 프로세스를 하크스 프로세스와 대기열 시스템의 결합으로 제안함. 강하도는 도착 시 증가하고 퇴출 시 감소하며, 중간에 지수적으로 감쇠됨.
• Affine Queue-Hawkes 프로세스를 Queue-Hawkes의 영감쇠 극한으로 정의함. 비교를 위한 기준선으로 기능함.
• 모멘트 생성 함수 기법을 적용하여 Queue-Hawkes 프로세스의 유체 및 확산 근사 유도함.
• 하크스 프로세스와 Affine Queue-Hawkes 프로세스의 모든 모멘트를 계산하기 위한 새로운 행렬 구조 도입함.
• 배치 스케일링 기법을 사용하여 Affine Queue-Hawkes 프로세스가 극한에서 고전적 하크스 프로세스로 수렴함을 보임.
• 비독립 및 의존적인 도착 간격을 가진 모든 세 프로세스에 대해 강한 대수법칙을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Queue-Hawkes 프로세스는 유체 및 확산 스케일링 하에서 어떻게 행동하며, 그 극한 행동은 무엇인가?
• RQ2 배치 스케일링 하에서 Affine Queue-Hawkes 프로세스와 고전적 하크스 프로세스 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 하크스 프로세스와 Affine Queue-Hawkes 프로세스의 모든 모멘트를 정확히 계산할 수 있으며, 만약 가능하면 어떤 구조적 방법을 통해 이루어지는가?
• RQ4 비.i.i.d. 및 의존적인 도착 간격은 Queue-Hawkes 프로세스의 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Queue-Hawkes 프로세스에서 일시적 자극의 역할은 무엇이며, 하크스 프로세스의 지속적 자극과 어떻게 다를까?

주요 결과

• 모멘트 생성 함수 기법을 사용하여 Queue-Hawkes 프로세스의 유체 및 확산 근사가 도출되었으며, 스케일링 하에서의 점근적 행동가 확립됨.
• Affine Queue-Hawkes 프로세스의 배치 스케일링이 고전적 하크스 프로세스로 수렴함을 보이며, 두 모델 간의 극한적 관계를 입증함.
• 하크스 프로세스와 Affine Queue-Hawkes 프로세스의 모든 모멘트가 새로운 행렬 구조를 통해 정확히 계산되었으며, 전체 모멘트 특성화 가능함.
• 비일치 및 의존적인 도착 간격 조건 하에서도 Queue-Hawkes, 하크스, 그리고 Affine Queue-Hawkes 프로세스의 도착 간격에 대해 강한 대수법칙이 증명됨.
• Queue-Hawkes 프로세스는 일시적 자기흥분을 보이며, 강하도 자극이 실체가 존재하는 동안 정확히 감쇠됨. 이는 지속적 자극 모델과의 주요 차이점임.