[논문 리뷰] The Ramanujan Machine: Automatically Generated Conjectures on Fundamental Constants

Gal Raayoni, Gottlieb, Shahar외 7명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 29.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 65인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 π, e, ζ(3)와 같은 기본 수학 상수에 대해 연속 분수 형태로 새로운 추측을 자동으로 생성하는 계산 프레임워크인 Ramanujan Machine을 소개한다. 다항 연속 분수에 특화된 Meet-In-The-Middle 및 Gradient Descent 방법을 활용하여, π와 e에 대한 이전에 알려지지 않은 표현을 포함해 수십 개의 새로운 항등식을 발견하였으며, 일부는 초함수 항등식을 사용하여 나중에 증명되었다.

ABSTRACT

Fundamental mathematical constants like $e$ and $π$ are ubiquitous in diverse fields of science, from abstract mathematics to physics, biology and chemistry. For centuries, new formulas relating fundamental constants have been scarce and usually discovered sporadically. Here we propose a novel and systematic approach that leverages algorithms for deriving mathematical formulas for fundamental constants and help reveal their underlying structure. Our algorithms find dozens of well-known as well as previously unknown continued fraction representations of $π$, $e$, Catalan's constant, and values of the Riemann zeta function. Two example conjectures found by our algorithm and so far unproven are: \begin{equation*} \frac{24}{π^2} = 2 + 7\cdot 0\cdot 1+ \frac{8\cdot1^4}{2 + 7\cdot 1\cdot 2 + \frac{8\cdot2^4}{2 + 7\cdot 2\cdot 3 + \frac{8\cdot3^4}{2 + 7\cdot 3\cdot 4 + \frac{8\cdot4^4}{..}}}} \quad\quad,\quad\quad \frac{8}{7 ζ(3)} = 1\cdot 1 - \frac{1^6}{3\cdot 7 - \frac{2^6}{5\cdot 19 - \frac{3^6}{7\cdot 37 - \frac{4^6}{..}}}} \end{equation*} We present two algorithms that proved useful in finding conjectures: a Meet-In-The-Middle (MITM) algorithm and a Gradient Descent (GD) tailored to the recurrent structure of continued fractions. Both algorithms are based on matching numerical values and thus they conjecture formulas without providing proofs and without requiring prior knowledge on any underlying mathematical structure. This approach is especially attractive for constants for which no mathematical structure is known, as it reverses the conventional approach of sequential logic in formal proofs. Instead, our work supports a different approach for research: algorithms utilizing numerical data to unveil mathematical structures, thus trying to play the role of intuition of great mathematicians of the past, providing leads to new mathematical research.

연구 동기 및 목표

• 기존에 희귀한 수학적 통찰력에 의해만 발견되어 온 기본 상수를 포함한 새로운 수학 공식을 체계적이고 알고리즘적인 방법으로 발견하는 것.
• π, e, 캐틀란 상수와 같은 기본 상수에 대한 새로운 공식의 부족을 해결하기 위해 수치 데이터 매칭을 활용해 발견 과정을 자동화하는 것.
• 기존의 증명 우선 접근 방식을 뒤집어, 계산 알고리즘을 사용해 추측을 생성하고 이를 나중에 증명하는 방식으로, 라마누잔 같은 역사적 수학자들의 직관적 발견 과정을 모방하는 것.
• 기계 학습과 수치 계산의 잠재력을 활용해 보편 상수 내에 숨겨진 수학적 구조를 밝혀내는 데 기여하는 것.
• 연구자들이 기본 상수의 새로운 추측을 탐색하고 검증할 수 있도록 공개 플랫폼을 제공하는 것.

제안 방법

• 해당 방법은 수치적 값이 상수와 후보 표현 간에 일치하도록 검색하는 데 효과적인 Meet-In-The-Middle (MITM) 알고리즘의 변종을 사용하여 연속 분수 항등식을 탐색한다.
• 다항 연속 분수(PCF)의 반복적 구조를 활용해 수렴성과 정확도를 향상시키기 위해 맞춤형 Gradient Descent (GD) 알고리즘을 사용한다.
• 기본 상수의 고정밀 수치적 값을 후보 PCF 표현과 매칭시키되, 기초 수학적 구조에 대한 사전 지식이 필요로 하지 않는다.
• 계산의 가능성과 미적 단순성을 확보하기 위해 부분 분모와 분자에 모두 정수 계수 다항식을 사용하는 것으로 검색을 제한한다.
• 주어진 PCF 표현이 지정된 수치 정밀도 내에서 알려진 상수로 수렴하는지 테스트함으로써 추측을 생성한다.
• 증명된 항등식은 알려진 초함수 항등식과 레르히 전이함수, 감마 함수와 같은 특수 함수를 사용하여 검증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자동화된 알고리즘이 π, e, ζ(3)와 같은 기본 수학 상수에 대해 새로운 연속 분수 표현을 발견할 수 있는가?
• RQ2 수치적 패턴 탐색이 새로운 공식 유도에 있어 전통적 수학적 통찰력을 얼마나 대체하거나 보완할 수 있는가?
• RQ3 닫힌형 구조가 알려지지 않은 상수에 대해 체계적인 알고리즘적 방법으로 추측을 생성할 수 있는가?
• RQ4 기계가 생성한 추측은 알려진 특수 함수 항등식을 사용해 체계적으로 증명할 수 있는가?
• RQ5 알고리즘적 발견은 수론 및 수학 물리학 분야의 연구 발전에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Ramanujan Machine은 π, e, 캐틀란 상수, ζ(3)에 대한 수십 개의 새로운 연속 분수 표현을 발견하였으며, π와 e에 대한 이전에 알려지지 않은 공식을 포함한다.
• 두 개의 추측은 초함수 항등식을 사용하여 나중에 증명되었다: 하나는 e/(e−2)에 대한 것이고, 다른 하나는 4/(3π−8)에 대한 것이며, 모두 다항 연속 분수를 포함한다.
• 알고리즘은 24/π² = 2 + Σ(8n⁴)/(2 + 7n(n+1)) 형태의 항등식을 연속 분수 형태로 성공적으로 생성하였으며, 이는 아직 증명되지 않은 상태이다.
• 다른 증명되지 않은 추측은 8/(7ζ(3))을 다항식 계수를 포함한 연속 분수와 연결하며, 깊은 수론적 구조를 암시한다.
• 2^{2z+1}/(π·binomial(2z,z))에 대한 추측이 다항 계수를 가진 연속 분수 형태로 성공적으로 생성되었으며, 나중에 초함수 항등식을 사용해 증명되었다.
• 이 프레임워크는 알고리즘적 탐색이 단지 수학적으로 우아할 뿐 아니라 수론 및 해석학 분야에서 잠재적으로 유용한 항등식을 드러낼 수 있음을 보여준다.