[논문 리뷰] The rate of convergence for the renewal theorem in $\mathbb{R}^d$

Jean−Baptiste Boyer|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 23.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^d$ 위의 랜덤 워크에 대해 i.i.d. $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$-값을 갖는 행렬에 의해 구동되는 복귀 정리의 수렴 속도를 확립한다. 구면에서의 마르코프 연산자의 유니터리 편항 분석을 통해 가족 $P(it)$를 통해 스펙트럼 성질을 분석함으로써, 잼프레소르 $ (\mathrm{id} - P(it))^{-1} $에 대한 다항식 경계를 도출하고, 이는 원점에서 잠재 함수 $Gf$의 수렴에 대한 최적의 헬더 유형 추정치로 이어진다. 핵심 결과는 강한 기약성과 가까운 조건 하에서 모멘트 조건을 만족할 때 구이바르시에–렙라 복귀 정리의 정확한 수렴 속도를 제공한다.

ABSTRACT

Let $ρ$ be a borelian probability measure on $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$. Consider the random walk $(X_n)$ on $\mathbb{R}^d\setminus\{0\}$ defined by $ρ$ : for any $x\in \mathbb{R}^d\setminus\{0\}$, we set $X_0 =x$ and $X_{n+1} = g_{n+1} X_n$ where $(g_n)$ is an iid sequence of $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})-$valued random variables of law $ρ$. Guivarc'h and Raugi proved that under an assumption on the subgroup generated by the support of $ρ$ (strong irreducibility and proximality), this walk is transient. In particular, this proves that if $f$ is a compactly supported continuous function on $\mathbb{R}^d$, then the function $Gf(x) :=\mathbb{E}_x \sum_{n=0}^{+\infty} f(X_n)$ is well defined for any $x\in \mathbb{R}^d \setminus\{0\}$. Guivarc'h and Le Page proved the renewal theorem in this situation : they study the possible limits of $Gf$ at $0$ and in this article, we study the rate of convergence in their renewal theorem. To do so, we consider the family of operators $(P(it))_{t\in \mathbb{R}}$ defined for any continuous function $f$ on the sphere $\mathbb{S}^{d-1}$ and any $x\in \mathbb{S}^{d-1}$ by \[ P(it) f(x) = \int_{\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})} e^{-it \ln \frac{ \|gx\|}{\|x\|}} f\left(\frac{gx}{\|gx\|} ight) \mathrm{d}ρ(g) \] And we prove that, for some $L\in \mathbb{R}$ and any $t_0 \in \mathbb{R}_+^\ast$, \[ \sup_{\substack{t\in \mathbb{R}\\ |t| \geqslant t_0}} \frac{ 1 }{|t|^L} \left\| (I_d-P(it))^{-1} ight\| ext{ is finite} \] where the norm is taken in some space of hölder-continuous functions on the sphere.

연구 동기 및 목표

• 구동 측도가 강한 기약성과 가까운 조건을 만족할 때, $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$-구동 랜덤 워크에 대한 $\mathbb{R}^d$ 위의 복귀 정리에서의 수렴 속도를 결정하는 것.
• 원점으로 $x \to 0$일 때 잠재 함수 $Gf(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathbb{E}_x[f(X_n)]$의 渐近적 행동, 특히 원점에서의 연속성 모듈러스를 분석하는 것.
• 구면 $S^{d-1}$ 위의 헬더 연속 함수에 작용하는 연산자 가족 $P(it)$에 대해 잼프레소르 $ (\mathrm{id} - P(it))^{-1} $에 대한 정량적 경계를 설정하는 것. 이는 수렴 속도를 결정한다.
• 구동 측도에 대한 모멘트 조건과 스펙트럼 조건을 만족할 때, 고전적 복귀 정리를 다항식 수렴 속도로 확장하여 원점으로의 극한 $x \to 0$에서의 수렴을 제공하는 것.

제안 방법

• 랜덤 워크의 구면에서의 역학을 코딩하기 위해, $C^{\gamma}(S^{d-1})$ 위의 연산자 가족 $P(it)$를 정의한다: $P(it)f(x) = \int_{\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})} e^{-it \ln \|gx\|} f(gx/\|gx\|) \, d\rho(g)$.
• 스펙트럼 편항 이론을 사용하여, $ |t| \geq t_0 > 0 $에서 연산자 노름 $ \| (\mathrm{id} - P(it))^{-1} \| $에 대한 균일한 경계를 확립하고, 이가 어떤 $ L \in \mathbb{R} $에 대해 $ |t|^{-L} $ 정도로만 증가함을 보인다.
• 로그 길이 $ \ln \|gx\| $의 디오판틴 성질을 이용하여 스펙트럼 갭을 제어하고 공명을 피함으로써, 본질적 스펙트럼에서 잼프레소르가 유계 Remainder를 유지함을 보장한다.
• 잔여 항 추정을 포함한 위너의 타우버 정리(타우버 정리)를 적용하여 컨볼루션의 감쇠를 제어하고, 시험 함수에서의 정규성을 잠재 함수로 이전한다.
• 비연속 시험 함수를 다루기 위해 가우시안과의 컨볼루션을 통한 정규화 절차를 도입하여 수렴 속도를 유지한다.
• 정적 측도의 구조와 사영 공간에서의 작용을 이용하여 문제를 구면으로 환원하고, $P$-불변 함수의 유일하거나 2차원 공간이 존재한다는 사실을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 기약성과 가까운 조건을 만족하고 모멘트 조건이 있는 $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$-구동 랜덤 워크에 대해 $\mathbb{R}^d$ 위의 복귀 정리에서 잠재 함수 $Gf(x)$의 원점에서의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 구면 $S^{d-1}$ 위에서의 연산자 $P(it)$의 스펙트럼 행동이 $x \to 0$일 때 $Gf$의 수렴 속도를 어떻게 제어하는가?
• RQ3 행렬 노름에 대한 디오판틴 조건 하에서, 큰 $|t|$에 대해 $t$에 대해 균일하게 유계일 수 있는가? $ (\mathrm{id} - P(it))^{-1} $
• RQ4 로그 길이 $ \ln \|gx\| $의 디오판틴 성질이 잠재 함수 $Gf$의 정규성과 감쇠에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 구면에 하나 또는 두 개의 $T_\rho$-불변 닫힌 부분집합이 존재할 경우, $Gf$의 원점에서의 연속성 모듈러스에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 강한 기약성, 가까움 조건, $ \rho $에 대한 모멘트 조건 하에서, $ S^{d-1} $ 위의 헬더 연속 함수 공간에서 잼프레소르 $ (\mathrm{id} - P(it))^{-1} $는 $ |t| \geq t_0 > 0 $에서 $ C |t|^{-L} $로 균일하게 유계이며, $ L \in \mathbb{R} $이다.
• $ x \to 0 $일 때 $ Gf(x) $가 $ \frac{1}{\lambda_\rho} \Pi_0 f(x) $로 수렴하는 속도는 $ f $의 헬더 노름에 의해 제어되며, 이 수렴 속도는 $ \gamma > 0 $에 대해 $ O(\|x\|^\gamma) $이다. 이는 시스템의 디오판틴 성질에 따라 달라진다.
• 컴 pact 지지집합을 가진 $ \gamma $-헬더 연속 함수 $ f $에 대해 $ f(0) = 0 $이라면, $ (G - \frac{1}{\lambda_\rho} \Pi_0)f $는 $ \mathbb{R}^d $에 연속적으로 연장되며, 원점에서의 연속성 모듈러스는 $ C \|f\|_{\gamma} \|x\|^\gamma $로 유계이다.
• 증명은 잔여 항 추정을 포함한 위너 유형의 타우버 정리에 기반하며, $ \phi_k * f $의 감쇠가 해의 정규성을 제어한다. 이때 컨볼루션 커널 $ \phi_k(x) = x^k e^{-x} \mathbf{1}_{\mathbb{R}_+}(x) $는 시험 함수를 정규화하는 데 사용된다.
• 구면에서 $ P $-불변 함수의 유일하거나 2차원 공간이 존재하는지 여부는 원점에서의 극한이 연속인지 또는 단지 방향 연속인지 결정하며, 이 수렴 속도는 이러한 구조를 반영한다.
• 최종 결과로, 헬더 추정치의 지수 $ \gamma $는 더 강한 디오판틴 가정이 없이도 개선될 수 없으며, 이는 수렴 속도가 최적임을 보여준다.