[논문 리뷰] The rate of convergence of some asymptotically chi-square distributed statistics by Stein's method

Robert E. Gaunt, Gesine Reinert|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 06.

Random Matrices and Applications참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 스텐의 방법을 적용하여 점차적으로 카이제곱 분포를 따르는 통계량에 대해 $O(n^{-1})$ 수렴 속도를 유도한다. 이는 프리드먼의 통계량과 파wr 분산 가족을 포함한다. 최근의 다변량 정규분포 함수 근사 이론을 확장함으로써 일반적인 경계를 수립하고, $\lambda$ 가 양의 정수이거나 $\lambda \geq 5$일 때 $r \geq 2$ 처리군에 대해 $O(n^{-1})$ 수렴을 증명한다. 또한, 모든 $\lambda \in \mathbb{R}$ 에서도 이 수렴 속도가 성립할 것이라는 추측을 제기한다.

ABSTRACT

We build on recent works on Stein's method for functions of multivariate normal random variables to derive bounds for the rate of convergence of some asymptotically chi-square distributed statistics. We obtain some general bounds and establish some simple sufficient conditions for convergence rates of order $n^{-1}$ for smooth test functions. These general bounds are applied to Friedman's statistic for comparing $r$ treatments across $n$ trials and the family of power divergence statistics for goodness-of-fit across $n$ trials and $r$ classifications, with index parameter $λ\in\mathbb{R}$ (Pearson's statistic corresponds to $λ=1$). We obtain a $O(n^{-1})$ bound for the rate of convergence of Friedman's statistic for any number of treatments $r\geq2$. We also obtain a $O(n^{-1})$ bound on the rate of convergence of the power divergence statistics for any $r\geq2$ when $λ$ is a positive integer or any real number greater than 5. We conjecture that the $O(n^{-1})$ rate holds for any $λ\in\mathbb{R}$.

연구 동기 및 목표

• 점차적으로 카이제곱 분포를 따르는 통계량에 대한 기존 수렴 속도 경계를 향상시키는 것.
• 프리드먼 검정의 순위와 같은 블록 설계 통계량에서 종속된 랜덤 변수를 다룰 수 있도록 스텐의 방법을 확장하는 것.
• 부드러운 검정 함수 하에서 $O(n^{-1})$ 수렴 속도를 확보하기 위한 일반적인 충분 조건을 설정하는 것.
• 핵심 비모수 통계량인 프리드먼의 카이제곱 통계량과 파워 분산 가족에 이 프레임워크를 적용하는 것.
• 파워 분산 가족에서 모든 $\lambda \in \mathbb{R}$ 에 대해 $O(n^{-1})$ 수렴이 성립할 것이라는 추측을 내세우는 것.

제안 방법

• 다변량 정규분포 랜덤 변수의 함수에 대한 최근 스텐의 방법의 변종을 사용하여, 통계량과 그 카이제곱 근사값 사이의 거리를 제한한다.
• 정규화된 순위 또는 수량에 대한 이차형식으로 표현 가능한 통계량, 예를 들어 $F_r = \sum_{j=1}^r W_j^2$ 와 $T_\lambda(\mathbf{W})$ 에 이 방법을 적용한다.
• 파워 분산 통계량을 나타내는 함수 $b(\mathbf{w})$ 의 도함수에 대한 경계를 유도하여, 필요한 부드러움 클래스에서 $O(1)$ 다항식 지배 함수의 존재를 검증한다.
• 모든 $\lambda \in \mathbb{Z}^+$ 와 $\lambda \geq 5$ 에 대해 $T_\lambda(\mathbf{W}) \in C_{Q,n^{-1/2}}^6(\mathbb{R}^r)$ 임을 증명함으로써, 정리 2.6 적용을 가능하게 하고 $O(n^{-1})$ 경계를 확립한다.
• 모멘트 경계를 $X_{ij}$ 와 $W_j$ 에 적용하여 스텐 방정식 해의 오차를 통제함으로써 최종 수렴 속도를 도출한다.
• 다양한 카이제곱 통계량의 분석을 하나의 이론적 틀 안에서 통합할 수 있는 일반적 프레임워크를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스텐의 방법을 확장하여 종속된 성분을 가진 점차적으로 카이제곱 분포를 따르는 통계량, 예를 들어 프리드먼 검정의 순위에 대해 $O(n^{-1})$ 수렴 속도를 도출할 수 있는가?
• RQ2 함수와 그 도함수에 대한 일반적인 조건은 무엇이어야 하며, 이는 다변량 정규분포 근사에 기반한 통계량의 $O(n^{-1})$ 수렴을 보장하는가?
• RQ3 파워 분산 가족에서 $O(n^{-1})$ 수렴 속도는 모든 $\lambda \in \mathbb{R}$ 에 대해 성립하는가, 아니면 특정 값에 대해서만 성립하는가?
• RQ4 블록 설계에서의 종속성 구조는 수렴 속도에 어떤 영향을 미치며, 이는 스텐의 방법 틀 내에서 다룰 수 있는가?
• RQ5 비정수 $\lambda$ 에 대해 도함수의 특이점이 존재할 경우 이 이론적 프레임워크를 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 프리드먼 통계량에 대해 임의의 $r \geq 2$ 처리군에 대해 $O(n^{-1})$ 수렴 속도를 확립한다.
• 파워 분산 가족의 경우, $\lambda$ 가 양의 정수이거나 $\lambda \geq 5$ 일 때 $O(n^{-1})$ 수렴 속도가 증명된다.
• 기존 연구보다 더 약한 조건으로 $O(n^{-1})$ 수렴을 보장하는 일반적인 충분 조건을 도출한다.
• 기존의 $O(n^{(r-1)/r})$ 경계와 나머지 항의 구조를 바탕으로, 모든 $\lambda \in \mathbb{R}$ 에 대해 $O(n^{-1})$ 수렴이 성립할 것이라는 추측을 제기한다.
• 이 방법은 페어슨의 카이제곱 통계량과 프리먼-트케이 통계량과 같은 특수한 경우로도 적용 가능하며, 비모수 통계량의 광범위한 클래스에 적용된다.
• 이 프레임워크는 완전한 블록 설계에서의 카이제곱 근사 분석을 통합적으로 다룰 수 있게 하여, 기존 문헌의 경계를 향상시킨다.