[논문 리뷰] The rationality of quaternionic Darmon points over genus fields of real quadratic fields

Matteo Longo, Stefano Vigni|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 실이차수체의 위상장에서 타원곡선 위의 허미션 다르몬 점들의 선형결합의 유리성에 대해 증명하며, 이들이 예측된 장에서 유리하다는 것을 보인다. p-진 L함수와 코homological 기법을 사용하여, 베텔로니니와 다르몬의 스터크-히그너 점에 대한 유리성 결과를 더 넓은 허미션 설정으로 확장하며, 다르몬의 원래 구성 이외의 비전통적 스터크-히그너 점들에 대한 첫 번째 명시적 유리성 결과를 제공한다.

ABSTRACT

Darmon points on p-adic tori and Jacobians of Shimura curves over Q were introduced in previous joint works with Rotger as generalizations of Darmon's Stark-Heegner points. In this article we study the algebraicity over extensions of a real quadratic field K of the projections of Darmon points to elliptic curves. More precisely, we prove that linear combinations of Darmon points on elliptic curves weighted by certain genus characters of K are rational over the predicted genus fields of K. This extends to an arbitrary quaternionic setting the main theorem on the rationality of Stark-Heegner points obtained by Bertolini and Darmon, and at the same time gives evidence for the rationality conjectures formulated in a joint paper with Rotger and by M. Greenberg in his article on Stark-Heegner points. In light of this result, quaternionic Darmon points represent the first instance of a systematic supply of points of Stark-Heegner type other than Darmon's original ones for which explicit rationality results are known.

연구 동기 및 목표

• 베텔로니니와 다르몬의 스터크-히그너 점에 대한 유리성 결과를 허미션 설정으로 확장하기 위해.
• 그린버그의 유리성 추측과 [20]에서 제시한 허미션 다르몬 점에 관한 추측에 대한 증거를 제공하기 위해.
• 실이차수체 K의 예측된 위상장에서 유한성의 성질을 갖는 다르몬 점들의 선형결합이 유리하다는 것을 증명하기 위해.
• 이러한 점들이 p-진 완비화된 타원곡선에서의 전역 점들로부터 유도되며, 국소적 p-진 구성과 전역 산술 사이의 연결을 보여주기 위해.

제안 방법

• Shimura 곡선에서의 p-진 L함수와 p-진 적분 이론을 사용하여, 코homological 클래스의 사영으로 다르몬 점을 구성한다.
• 레벨을 나누는 소수에서 Shimura 곡선의 아벨 곡선의 강한 해석적 균형화를 적용하며, [19]와 [20]의 결과를 기반으로 한다.
• 실이차수체 K의 위상 문자를 사용하여 다르몬 점들의 선형결합을 가중치를 두어, 갈루아 작용과의 호환성을 확보한다.
• p-진 모듈라 기호 이론과 군 코hom로 p-진 L함수와 점의 로그적 조정자 사이의 관계를 설정한다.
• p-진 L함수의 함수방정식과 특수값을 이용하여 L함수의 도함수를 점의 로그와 연결한다.
• 히다 가닥 이론과 L함수의 특수값 이론을 사용하여 L함수의 대수적 부분을 제어하고 점의 높이와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실이차수체 K의 예측된 위상장에서 위상 문자로 가중치를 둔 다르몬 점들의 선형결합은 유리한가?
• RQ2 허미션 다르몬 점들은 [20]과 [13]에서 추측한 바와 같이, 고전적 스터크-히그너 점들과 같은 유리성 성질을 만족하는가?
• RQ3 베텔로니니와 다르몬의 결과를 확장하여, 허미션 설정에서 다르몬 점들의 유리성을 조건 없이 증명할 수 있는가?
• RQ4 이러한 점들에 대해, 추측에서 예측한 시무라 상호작용 법칙과 일치하는 갈루아-등변성 구조가 존재하는가?
• RQ5 p-진 L함수의 값들을 사용하여 실위상장에서 타원곡선 위의 전역 점들을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 실이차수체 K의 예측된 위상장에서 위상 문자로 가중치를 둔 다르몬 점들의 선형결합은 유리하다.
• Pχ ∈ E(Hχ)χ 는 무한 순서를 갖는다. ⇔ L′(E/K, χ, 1) ≠ 0.
• Pχ 의 이미지가 E(Hχ)χ 에서 p-진 로그에 의해 유도되는 적절한 정수배는 E(Kp) ⊗Z Q 에 속한다.
• 점 Pχ 의 로그는 p-진 L함수의 두 번째 도함수와 비례하며, 비례상수는 Q× 에 속한다.
• Jχ = c logE(Pχ) 에서 상수 c 는 명시적으로 ±v√η(2) 로 주어지며, 여기서 v ∈ Q× 이고 η(2) 는 Q× 안의 제곱이다.
• 이 구성은 허미션 다르몬 점에 대한 유리성 추측을 확인하며, 기본체가 Q 인 경우 그린버그 추측에 대한 증거를 제공한다.