[논문 리뷰] The Rayleigh collapse of two spherical bubbles

Anthony Harkin, Adam Giammarese외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 10.

Ultrasound and Cavitation Phenomena참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유체역학적 힘에 의해 상호작용하는 두 개의 동일한, 이동하지 않는 구형 기포의 관성적 붕괴에 대한 해석적 해를 제시한다. 이는 레일리의 고전적 단일 기포 모델을 확장한 것으로, 천천히 수렴하는 멱급수와 초기 시간 행동 및 붕괴 직전 동역학을 모두 일치시키는 점 游근 근사법을 사용하여 전체 붕괴 시기 동안 균일한 정확도를 달성한다. 기포 반지름보다 훨씬 큰 간격을 가진 경우 단일 기포 극한이 복원된다.

ABSTRACT

The inertial collapse of two interacting and non-translating spherical bubbles of equal size is considered. The exact analytic solution to the nonlinear ordinary differential equation that governs the bubble radii during collapse is first obtained via a slowly converging power series. An asymptotic approximant is then constructed that accelerates convergence of the series and imposes the asymptotic collapse behavior when the radii are small. The solution generalizes the classical 1917 Rayleigh problem of single bubble collapse, as this configuration is recovered when the distance between the bubble centers far exceeds that of their radii.

연구 동기 및 목표

• 1917년 로드 레일리의 단일 기포 붕괴 모델을 상호작용하는, 이동하지 않는, 동일한 크기의 두 개의 구형 기포의 경우로 일반화하기 위해.
• 모든 물리적 영역에서 천천히 수렴하는 정확한 멱급수 해를 두 기포 시스템에 대해 유도하기 위해.
• 초기 시간 행동과 붕괴 직전의 점근적 행동을 모두 일치시키는 점근적 근사법을 구성하여 수렴 속도를 가속화하고 균일한 정확도를 확보하기 위해.
• 기포 간 거리가 기포 반지름보다 훨씬 클 경우 단일 기포 고전적 레일리 해를 극한으로 복원하기 위해.

제안 방법

• 서로 상호작용하는 동일한 반지름, 이동하지 않는 두 기포의 붕괴를 기술하는 연립 2차 비선형 상미분 방정식을 수립하기 위해.
• 방정식에 $3R^2 \dot{R}$를 곱하고, 초기 조건 $R(0) = R_0$, $\dot{R}(0) = 0$를 적용하여 적분함으로써 운동의 첫 번째 적분을 유도하고, $\dot{R}$에 대한 1차 미분방정식을 도출하기 위해.
• 시간에 대한 전개를 통해 기포 반지름 $R(T)$에 대한 정확한 멱급수 해를 도출하며, 이는 전체 붕괴 간격에서 천천히 수렴한다.
• 초기 시간 $T \to 0$에서의 멱급수 전개와 붕괴 시간 $T_{c2}$에 수렴하는 점근적 행동을 일치시켜 점근적 근사법을 구성하기 위해.
• 지배적 균형과 섭동 분석을 사용하여, 특히 $\epsilon \neq 0$ (두 기포)의 경우에 주로 영향을 미치는 고차항 보정을 도출하기 위해.
• 정확한 급수와의 비교를 통해 근사법의 성능을 검증하고 붕괴 특이점 근처에서의 수렴 가속도를 분석하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 번째 근접 기포의 존재가 관성적으로 붕괴하는 구형 기포의 동역학과 붕괴 시간에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 멱급수 해가 천천히 수렴하는 바람에, 두 기포 레일리 붕괴 문제에 대해 균일한 정확도를 갖는 해석적 해를 구성할 수 있는가?
• RQ3 상호작용하는 두 기포의 붕괴 직전 점근적 행동의 성격은 무엇이며, 단일 기포 경우와 어떻게 다를까?
• RQ4 기포 간 거리 $D$가 붕괴 동역학과 급수 해의 수렴에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 점근적 근사법이 이 비선형 시스템에서 초기 시간 급수 행동과 후기 시간 특이 행동 사이의 격차를 어느 정도 메울 수 있는가?

주요 결과

• 두 기포 붕괴 시간 $T_{c2}$ 는 $\epsilon = R_0/D$ 를 포함하는 적분 표현식으로 주어지며, $\epsilon \to 0$ 일 때 고전적 레일리 결과로 수렴한다.
• 점근적 근사법을 사용한 근사법은 전체 붕괴 간격에서 균일한 정확도를 달성하며, 원래 멱급수에 비해 수렴 속도가 크게 향상된다.
• 두 기포 시스템의 주요 근사 붕괴 행동은 $r \sim \delta (1 - t)^{2/5}$ 이며, $\epsilon \neq 0$ 인 경우 다음 차수 보정은 $D(t) \sim -\frac{1}{7}\epsilon\delta^2 (1 - t)^{4/5}$ 로, 단일 기포 경우와 다름을 보인다.
• 정확한 점근적 구조를 포함함으로써 근사법의 수렴이 향상되었으며, 고차 특이점의 영향은 주요 특이점보다 더 약한 것으로 나타났다.
• 이 방법은 고전적 레일리 해를 성공적으로 일반화하였으며, $D \to \infty$ ($\epsilon \to 0$) 일 때 단일 기포 경우로 복원된다.
• 근사법의 구성은 초기 급수와 물리적 붕괴 동역학 양쪽 모두와 일치시키며, 서로 다른 물리적 영역을 효과적으로 연결하는 데 있어 강건함을 보였다.