[논문 리뷰] The RCCN criterion of separability for states in infinite-dimensional quantum systems

Yu Guo, Jinchuan Hou|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 01.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 양자 시스템에서의 분리 가능성에 대한 실링 조건과 계산 가능한 교차 노름(RCCN) 조건을 무한차원 이분할 양자 시스템으로 확장한다. 힐베르트-슈미트 연산자 위에서 실링 연산을 정의하고 이를 스미스 계수와 연결함으로써, 임의의 분리 가능한 상태 $\rho$에 대해 실링의 트레이스 노름 $\|\rho^R\|_{\rm Tr}$과 계산 가능한 교차 노름 $\|\rho\|_{\rm CCN}$이 모두 스미스 계수의 합 $\sum_k \delta_k \leq 1$과 같음을 증명한다. 이 값이 1이 되는 것은 $\rho$가 순수 분리 가능한 상태일 때이고, 그 경우에만 성립한다.

ABSTRACT

In this paper, the realignment criterion and the RCCN criterion of separability for states in infinite-dimensional bipartite quantum systems are established. Let $H_A$ and $H_B$ be complex Hilbert spaces with $\dim H_A\otimes H_B=+\infty$. Let $ρ$ be a state on $H_A\otimes H_B$ and $\{δ_k\}$ be the Schmidt coefficients of $ρ$ as a vector in the Hilbert space ${\mathcal C}_2(H_A)\otimes{\mathcal C}_2(H_B)$. We introduce the realignment operation $ρ^R$ and the computable cross norm $\|ρ\|_{ m CCN}$ of $ρ$ and show that, if $ρ$ is separable, then $\|ρ^{R}\|_{ m Tr}=\|ρ\|_{ m CCN}=\sum\limits_kδ_k\leq1.$ In particular, if $ρ$ is a pure state, then $ρ$ is separable if and only if $\|ρ^{R}\|_{ m Tr}=\|ρ\|_{ m CCN}=\sum\limits_kδ_k=1$.

연구 동기 및 목표

• 유한차원에서의 실링 및 RCCN 기준을 이분할 무한차원 양자 시스템으로 일반화하기.
• 실링된 상태의 트레이스 노름에 기반한 무한차원 시스템에서의 분리 가능성에 대한 필수 조건 설정하기.
• 순수 상태의 경우, 분리 가능성은 $\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \|\rho\|_{\rm CCN} = \sum_k \delta_k = 1$과 동치임을 증명하기.
• 무한차원 시스템으로 대칭 상태 개념을 확장하고, 이 경우 RCCN 기준과 PPT 기준이 동치임을 보여주기.

제안 방법

• 세 가지 등가 표현을 사용하여, $\mathcal{C}_2(H_A \otimes H_B)$에서 $\mathcal{C}_2(H_B \otimes H_B, H_A \otimes H_A)$로의 등장선형 사상으로서 실링 연산 $T \mapsto T^R$을 정의하기.
• 상태 $\rho$를 Hilbert 공간 $\mathcal{C}_2(H_A) \otimes \mathcal{C}_2(H_B)$의 벡터로 표현하고, 그의 스미스 계수 $\{\delta_k\}$를 추출하기.
• 임의의 상태 $\rho$에 대해 $\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \|\rho\|_{\rm CCN} = \sum_k \delta_k$임을 보여주기.
• 만약 $\rho$가 분리 가능하면 $\sum_k \delta_k \leq 1$임을 증명하고, 등호가 성립하는 것은 $\rho$가 순수 분리 가능한 상태일 때뿐임을 보여주기.
• 플립 연산자 $F$를 통해 무한차원 시스템으로 대칭 상태의 개념을 일반화하기.
• 대칭 상태에 대해 RCCN 기준($\|\rho^R\|_{\rm Tr} \leq 1$)이 PPT 기준과 동치임을 확립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실링 및 RCCN 기준은 이분할 무한차원 양자 시스템으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 무한차원 시스템에서 실링된 상태의 트레이스 노름과 스미스 계수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 무한차원 시스템에서 분리 가능성에 대해 $\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \sum_k \delta_k \leq 1$ 조건이 필수적인가?
• RQ4 무한차원 시스템의 순수 상태에서 $\|\rho^R\|_{\rm Tr} = 1$은 분리 가능성에 대해 필요이고 충분한가?
• RQ5 무한차원 시스템 내 대칭 상태의 클래스에서 RCCN 기준과 PPT 기준은 동치인가?

주요 결과

• 무한차원 이분할 시스템에 속한 임의의 분리 가능한 상태 $\rho$에 대해, 실링된 연산자의 트레이스 노름은 $\|\rho^R\|_{\rm Tr} \leq 1$을 만족한다.
• 계산 가능한 교차 노름 $\|\rho\|_{\rm CCN}$은 스미스 계수의 합 $\sum_k \delta_k$와 같으며, 이 값은 분리 가능한 상태에서는 1 이하로 유계이다.
• 순수 상태 $\rho$에 대해, 분리 가능성은 $\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \|\rho\|_{\rm CCN} = \sum_k \delta_k = 1$과 동치이다.
• 실링 연산 $T \mapsto T^R$은 $\mathcal{C}_2(H_A \otimes H_B)$ 위에서 힐베르트-슈미트 노름에 대해 등장이다.
• 무한차원 시스템의 대칭 상태에 대해, RCCN 기준($\|\rho^R\|_{\rm Tr} \leq 1$)은 PPT 기준과 동치이다.
• 실링된 상태 $\rho^R$의 특이값은 $\rho^{T_A}$의 특이값과 같으며, 따라서 $\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \|\rho^{T_A}\|_{\rm Tr}$이다. 이 값은 $\rho$가 PPT가 아니면 1을 초과한다.