[논문 리뷰] The relation of rapid ultrafilters and Q-points to van der Waerden ideal

Jana Flašková|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 12.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 반데르와르던 이상수 W와 관련하여 빠른 초수와 Q-점 사이의 구별을 조사한다. 모든 Q-점이 W와 교차함(즉, 약한 W-초수임)을 보여주지만, 빠른 초수는 W와 완전히 교차하지 않을 수 있음을 밝힌다. 가산 포지티브 순서 집합에 대한 마틴의 공리(MA)를 가정하면, Q-점이 아닌 W-초수를 구성함으로써 W-초수에 대해 Q-점 성질의 역이 성립하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

We point out one of the differences between rapid ultrafilters and Q-points: Rapid ultrafilters may have empty intersection with van der Waerden ideal, whereas every Q-point has a non-empty intersection with van der Waerden ideal. Assuming Martin's axiom for countable posets we also construct a W-ultrafilter which is not a Q-point.

연구 동기 및 목표

• 빠른 초수, Q-점, 반데르와르던 이상수 W 간의 관계를 명확히 하기.
• Q-점이 W와의 교차 성질이 W-초수로 확장될 수 있는지 판단하기.
• 약한 W-초수 성질이 Q-점임을 의미하는지 조사하기.
• 가산 포지티브 순서 집합에 대한 마틴의 공리 아래, Q-점이 아닌 W-초수를 구성하기.
• 빠른 초수가 반데르와르던 이상수를 피할 수 있음을 보여주기, Q-점과는 대조적으로.

제안 방법

• 가산 포지티브 순서 집합에 대한 마틴의 공리(MA_ctble)를 사용하여 유한 집합들의 부분순서 집합 위에서 일반화된 필터를 구성한다.
• 3항 등차수열을 포함하지 않는 ω의 유한부분집합들로 이루어진 부분순서 집합 P를 정의하며, 최소값이 증가하는 방향으로 포함관계로 순서를 정의한다.
• 각 필터 기저의 원소 F와 ω의 각 원소 k에 대해 밀도집합 D_{F,k}를 정의하여, F와의 교차가 임의로 긴 등차수열을 포함하도록 보장한다.
• 일반화된 필터 G를 적용하여 ω의 부분집합 G를 구성함으로써, 주어진 합성 이상수 I_g에 대해 f[G] ∈ I_g 임을 보장한다.
• 순서수에 따른 초월귀납법을 통해 필터 기저 {F_α}를 구성하며, 각 F_α가 등차수열 집합(AP-set)이 되고, 모든 쌍 (f_α, g_α)에 대해 f_α[F] ∈ I_{g_α} 임을 보장한다.
• 유도된 필터 기저를 초수 U로 확장하여, 반데르와르던 이상수 W와의 교차가 없도록 하되, 여전히 고유한 빠른 초수 성질을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 빠른 초수는 반데르와르던 이상수 W를 피할 수 있는가?
• RQ2 모든 Q-점은 반드시 W-초수인가, 아니면 단지 약한 W-초수인가?
• RQ3 약한 W-초수 성질이 초수가 Q-점임을 의미하는가?
• RQ4 마틴의 공리(MA_ctble)와 같은 집합론적 가정 하에, Q-점이 아닌 W-초수를 구성할 수 있는가?
• RQ5 초수의 고유한 빠른 성질과 그것이 W와의 교차 관계 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 Q-점은 약한 W-초수이므로, 모든 유한-일대일 함수 f에 대해 초수에 속한 어떤 집합의 f에 의한 상이 W에 속한다.
• 반데르와르던 이상수 W와의 교차가 없는 빠른 초수가 존재함을 보여, 빠르기 성질이 W와의 교차를 보장하지는 않음을 입증한다.
• 가산 포지티브 순서 집합에 대한 마틴의 공리 아래, U ∩ W = ∅ 를 만족하는 고유한 빠른 초수 U가 존재한다.
• MA_ctble 하에 Q-점이 아닌 W-초수를 구성할 수 있으며, 이는 W-초수가 반드시 Q-점이 아니라는 것을 보여준다.
• 구성된 초수는 고유한 빠른 초수이자, 모든 집합이 AP-집합(AP-set)인 초수이므로, 초수에 속한 모든 집합이 등차수열 집합임을 의미한다.
• 이 구성은 3항 등차수열을 피하는 유한집합들의 부분순서 집합 위에서 일반화된 필터를 기반으로 하며, 함수에 의한 상 집합이 합성 이상수에 속하도록 보장한다.