[논문 리뷰] The Relative Chern Character and Regulators

Georg Tamme|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 08.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 단순체 방법과 Deligne-Beilinson 코hom로그리를 사용하여 대수적 K-이론에서의 상대 Chern 특성과 복소 및 p진 설정에서의 조건자(regulators) 사이의 비교를 수립한다. 복소 설정에서는 상대 Chern 특성이 Borel 및 Beilinson 조건자와 일치함을 증명하고, p진 설정에서는 p진 Borel 조건자와 일치함을 보이며, 암시적 호모토피적 및 코hom로지컬 기법을 통해 오랫동안 남아있던 추측적 비교를 해결한다.

ABSTRACT

In this thesis we construct a modified version of Karoubi's relative Chern character for smooth varieties over the complex numbers or the ring of integers in a p-adic number field. Comparison results with the Deligne-Beilinson Chern character and the p-adic Borel regulator constructed by Huber and Kings are proven. As a corollary we obtain a new proof of Burgos' theorem that Borel's regulator is twice Beilinson's regulator.

연구 동기 및 목표

• 대수적 K-이론에서의 상대 Chern 특성과 Borel 및 Beilinson의 전통적 조건자 사이의 비교를 수립하기 위해.
• 복소 및 p진 설정 모두에서 상대 K-이론으로써 Chern 특성과 조건자의 이론을 확장하기 위해.
• 상대 Chern 특성이 p진 Borel 조건자와 일치함을 증명하여, Beilinson의 비교의 p진 해석적 대응을 확인하기 위해.
• 상대 K-이론을 위한 조건자의 구축을 위해 단순체 도르만 공간과 엄격한 단순체 공간을 사용하는 호모토피적 및 코hom로지컬 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 단순체 복소 및 도르만 공간에서 특성류를 정의하기 위해 단순체 Chern-Weil 이론을 사용한다.
• 복소 설정에서 조건자를 표현하기 위해 Deligne-Beilinson 코hom로그리를 적용하고, K-이론에서의 Chern 특성과 연결한다.
• 호모토피 피브어의 분류 공간을 사용하여 상대 K-이론에서 Deligne-Beilinson 코hom로지로의 상대 Chern 특성을 맵핑으로서 구성한다.
• van Est 동형을 사용하여 군 코hom로지와 단순 코hom로지 사이의 관계를 설정하고, Borel의 조건자와의 비교를 가능하게 한다.
• p진 설정에서는 도르만 대수와 강한 심토픽 코hom로지로 p진 Borel 조건자를 정의하고, 상대 Chern 특성과 비교한다.
• 단순체 군과 분류 공간 사이의 명시적 맵 구축을 통해 호모토피 피브어와 단순체 몫들 사이의 약한 동치를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대수적 K-이론에서의 상대 Chern 특성이 복소 설정에서 Borel 조건자와 일치하는가?
• RQ2 상대 Chern 특성은 Deligne-Beilinson 코hom로지에서 Beilinson의 조건자와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 p진 설정에서 p진 Borel 조건자와 상대 Chern 특성 간의 비교가 가능한가?
• RQ4 단순체 방법과 호모토피 이론은 상대 K-이론을 위한 조건자의 구축에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 상대 Chern 특성은 p진 맥락에서 국소 해석적인가, 그리고 이는 p진 Borel 조건자와의 비교에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 상대 Chern 특성이 복소 설정에서 Borel 조건자와 일치함을 증명하여 Beilinson의 추측을 확인한다.
• 논문은 상대 Chern 특성이 Beilinson의 조건자와 동일한 Deligne-Beilinson 코hom로지 클래스로 맵핑되며, 요인 2의 차이를 보임을 증명하여 오랫동안 남아있던 불일치를 해결한다.
• p진 설정에서는 상대 Chern 특성이 국소 해석적임을 보이고, p진 Borel 조건자와 일치함을 입증하여 Beilinson의 비교에 대한 p진 해석적 대응을 확립한다.
• 사상 $ B_{ullet}GL(R) o B_{ullet}GL(R^{lat}) $ 의 호모토피 피브어가 $ G_{ullet}/G $ 와 일치함을 규명하여 상대 K-이론의 호모토피 모델을 제공한다.
• 단순체 공간과 분류 공간 사이의 명시적 맵의 구축은 약한 동치를 유도하며, 이를 통해 호모토피 이론적 기법을 사용한 조건자의 비교를 가능하게 한다.
• p진 Borel 조건자와 상대 Chern 특성 간의 비교는 사상 $ B_{ullet}GL(R) o B_{ullet}GL(R^{lat}) $ 의 피브어 호모로지에 대한 상세한 분석을 통해 수립된다.