[논문 리뷰] The relative extremal function for Borel sets in complex manifolds

Armen Edigarian, Ragnar Sigurðsson|ArXiv.org|2006. 07. 13.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체에서 Borel 집합 위의 상대적 극값 함수에 대한 디스크 공식을 수립하며, 약간의 정규성 조건을 만족하는 열린 집합이 아닌 Borel 집합 $ A $에 대해, 상대적 극값 함수 $ \omega(\cdot, \overline{A}, D) $ 가 분석적 디스크 $ f $ 에서 $ f(0) = x $ 를 만족하는 조건에서 $ -\sigma_f(A) $ 의 하한보다 항상 유계임을 증명한다. 이는 Poletsky의 정리가 열린 집합이 아닌 경우로 확장된 것이다. 주요 기여는 Josefson 다각형과 약간의 정규성 조건을 만족하는 영역에서 분석적 디스크를 통한 극값 집합의 특성화이다.

ABSTRACT

We study a disc formula for the relative extremal function for Borel sets in complex manifolds.

연구 동기 및 목표

• 복소다양체에서 Borel 집합으로의 Poletsky의 디스크 공식을 열린 집합에서 Borel 집합으로 확장하는 것.
• 복소다양체에서 Borel 집합 $ A $ 에 대해 부등식 $ \omega(\cdot, \overline{A}, X) \leq \Omega(\cdot, \overline{A}, X) $ 가 성립하는지 조사하는 것.
• 약간의 정규성 조건을 만족하는 영역과 Josefson 다각형에서 분석적 디스크를 통한 극값 집합의 특성화.
• 약간의 정규성 조건을 만족하는 영역 $ D $ 의 경계에 있는 Borel 집합 $ A \subset \partial D $ 에 대해 상대적 극값 함수가 $ \omega(\cdot, \overline{A}, D) \leq \Omega(\cdot, \overline{A}, D) \leq \omega^{*}(\cdot, A, D) $ 를 만족하는 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 상대적 극값 함수 $ \omega(\cdot, A, X) $ 를 $ -\chi_A $ 보다 작거나 같은 음의 펄리하모닉 함수들의 상한으로 정의한다.
• 분석적 디스크 $ f \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, X) \cap C(\overline{\mathbb{D}}, X) $ 에서 $ f(0) = x $ 를 만족하는 것들에 대해 $ -\sigma_f(A) $ 의 하한으로 $ \Omega(x, A, X) $ 를 정의한다.
• 펄리하모닉 함수의 하한 평균 성질을 이용하여 모든 Borel 집합 $ A $ 에 대해 $ \omega(x, A, X) \leq \Omega(x, A, X) $ 를 유도한다.
• 국소적으로 펄리정규인 $ A $ 에 대해, 복소다양체 $ X $ 에서 $ \Omega(\cdot, \overline{A}, X) \leq \omega(\cdot, A, X) $ 를 증명한다.
• Josefson 다각형의 상대적으로 컴acts한 약간의 정규성 조건을 만족하는 영역 $ D $ 에서, Borel 집합 $ A \subset \partial D $ 에 대해 $ \Omega(\cdot, A, D) \leq \omega^{*}(\cdot, A, D) $ 를 확립한다.
• 이웃 영역의 수열을 통해 분석적 디스크를 순차적으로 구성하고, 파oisson 적분과 Perron-Bremermann 포장함수를 사용하여 경계 행동을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소다양체에서 Borel 집합 $ A $ 에 대해 디스크 공식 $ \Omega(x, A, X) = \omega(x, A, X) $ 가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 약간의 정규성 조건을 만족하는 영역 $ D $ 의 경계에 있는 Borel 집합 $ A \subset \partial D $ 에 대해 상대적 극값 함수가 분석적 디스크를 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ3 모든 Borel 부분집합 $ A \subset \partial D $ 에 대해 부등식 $ \Omega(\cdot, \overline{A}, D) \leq \omega^{*}(\cdot, A, D) $ 가 성립하는가?
• RQ4 Borel 집합 $ A \subset \partial D $ 의 펄리정규성과 큰 $ \sigma_f(A) $ 를 가진 분석적 디스크의 존재성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 모든 유계 펄리하모닉 함수가 상수인 성질이 분석적 디스크 근사에 의해 Josefson 다각형을 특성화하는가?

주요 결과

• 모든 국소적으로 펄리정규인 Borel 집합 $ A $ 에 대해 복소다양체 $ X $ 에서 부등식 $ \Omega(\cdot, \overline{A}, X) \leq \omega(\cdot, A, X) $ 가 성립한다.
• Josefson 다각형의 상대적으로 컴팩트한 약간의 정규성 조건을 만족하는 영역 $ D $ 에서, 임의의 Borel 집합 $ A \subset \partial D $ 에 대해 $ \Omega(\cdot, A, D) \leq \omega^{*}(\cdot, A, D) $ 가 성립한다.
• 만약 $ A = A_1 \cup E $ 이고 $ A_1 $ 이 국소적으로 펄리정규이며, 어떤 $ u \in \mathrm{PSH}^-(D) $ 에 대해 $ u^*|_E \equiv -\infty $ 라면, 모든 $ x \in D $ 에 대해 $ \omega(x, \overline{A}, D) \leq \Omega(x, \overline{A}, D) \leq \omega^*(x, A, D) $ 가 성립한다.
• Josefson 다각형은 모든 유계 펄리하모닉 함수가 상수일 때, 그리고 오직 그 때에만, 임의의 점 $ p \in X $, 임의의 비펄리정규 Borel 집합 $ A \subset X $, 그리고 임의의 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해, $ f(0) = p $ 를 만족하는 분석적 디스크 $ f \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, X) \cap C(\overline{\mathbb{D}}, X) $ 가 존재하여 $ \sigma_f(A) > 1 - \varepsilon $ 를 만족한다.
• 경계에 있는 컴팩트 집합 $ A \subset \partial D $ 가 $ \omega^*(\cdot, A, D) \equiv 0 $ 를 만족하는 것은, $ u \in \mathrm{PSH}^-(D) $, $ u \not\equiv -\infty $ 이고 $ u^*|_A \equiv -\infty $ 를 만족하는 함수 $ u $ 가 존재하는 것과 동치이다.