[논문 리뷰] The Richardson's Annular effect and a transient solution of oscillating pressure-driven flow in circular pipes

F. Camacho, R. Martinez외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 06.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 원형 관에서 압력에 의해 구동되는 진동하는 유량에 대한 일시적 해석적 해를 제시하며, 표준 해법에서의 초기 조건 문제를 해결한다. 이는 리처드슨 링형 효과의 오버슈트 위치가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 규명하고, 오버슈트 크기와 운동 viscoity 수 $ \rho^* = \omega r_0^2 / \nu $ 사이의 반경험적 법칙 $ B_0(\rho^*) = 2.28 + 0.51(\rho^*)^{-1/2} $ 를 유도한다. 일시적 해는 유체의 점성과 파이프 반지름에 의존하는 특성 시간 $ \tau_1 = r_0^2 / (\nu j_1^2) $ 에 따라 안정된 진동 상태로 수렴한다.

ABSTRACT

In this paper it is shown that the location of the characteristic overshoot of the Richardson's annular effect changes with the Kinematic Reynolds number $ω^*=ωr_0^2 /ν$ in the range of frequencies within the laminar regime. From the study of the Richardson's overshoot at different times it was identified the existence of aparent transverse damped waves similar to those ones observed in the famous Stokes second problem, the physical analysis of this waves was used for the establishment of a semi-empirical law that gives the functional relation of the mean overshoot maximum with the kinematic reynolds number, say $B_0(ω^*)=2.28 + 0.51{ω^*}^{-1/2}$. Finally a transient solution was constructed and verified asymptotically for large times, and the tipical time for which the transient solution resembles the steady oscillating one was identified to be dependent of the viscosity of the fluid and of the radius of the pipe.

연구 동기 및 목표

• t=0에서 초기 정지 조건을 만족하지 못하는 표준 진동 유동 해법의 모순을 해결하기 위해.
• 특히 파이프 벽 근처에서 속도 오버슈트의 위치가 시간에 따라 어떻게 변화하는지 분석하기 위해.
• 최대 오버슈트 크기와 운동 레이놀즈 수 $ \omega^* $ 사이의 반경험적 기능적 관계를 유도하기 위해.
• 안정된 진동 상태로 渐近 수렴하는 일시적 해를 구성하고 검증하기 위해.
• 일시적 해가 안정된 진동 상태 해와 유사해지는 특성 시간 척도 $ \tau_1 $ 를 규명하기 위해.

제안 방법

• 축방향으로 독립적이고, 벽면에서의 점착 조건을 만족하는 조건 하에서 원통좌표계에서 축방향 라플라스 방정식을 구성하여, 일차원 확산형 방정식으로 단순화한다.
• 압력 기울기의 푸리에-베셀 급수 전개를 통해 진동하는 외부력 항을 고유함수 $ J_0(j_n r^*) $ 로 표현하며, 여기서 $ j_n $ 은 $ J_1 $ 의 영이 된다.
• 확장 계수 $ a_n(t) $ 에 대해 일阶 상미분방정식 시스템을 구하고, 초기 조건 $ a_n(0) = 0 $ 을 적용하여 감쇠 지수함수 형태의 해를 도출한다.
• 모드들의 초위합으로서 일시적 속도장을 유도한다: $ u(r^*,t) = 2K \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{i\omega t} - e^{-\nu j_n^2 t / r_0^2}}{(i\omega + \nu j_n^2 / r_0^2) j_n J_1(j_n)} J_0(j_n r^*) $.
• 푸리에-베셀 급수를 폐쇄형 표현식(베셀 함수 포함)과 비교하여 일시적 해가 안정된 해로 수렴하는 점근적 수렴성을 검증한다.
• 수치적으로 $ N \to \infty $ 일 때, 차이 함수 $ D_{\omega}^N(r^*) $ 가 실수부와 허수부 양쪽 모두에서 0으로 수렴하는 것을 확인하여 해의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 주파수에서 리처드슨 링형 효과의 속도 오버슈트 위치는 시간에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ2 운동 레이놀즈 수 $ \omega^* $ 에 따라 최대 오버슈트 크기의 기능적 의존성은 무엇인가?
• RQ3 일시적 해가 안정된 진동 상태 해로 수렴하는 데 필요한 특성 시간 척도는 무엇인가?
• RQ4 원형 관에서 압력에 의해 구동되는 진동 유동에 대해 초기 정지 조건을 만족하는 일시적 해를 해석적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 오버슈트 역학에서 관측된 감쇠된 횡파는 고전적 스토크스 두 번째 문제와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 리처드슨 링형 효과의 오버슈트 위치가 시간에 따라 이동함을 확인하여, 유동장 내에 횡방향 감쇠파가 존재함을 시사한다.
• 반경험적 법칙이 확립되었다: $ B_0(\omega^*) = 2.28 + 0.51(\omega^*)^{-1/2} $, 이는 운동 레이놀즈 수 $ \omega^* $ 를 변수로 하는 평균 오버슈트 크기를 기술한다.
• 푸리에-베셀 급수를 통한 일시적 해는 초기 정지 조건을 만족하며, 기존의 안정된 진동 해로 점점 수렴함을 입증한다.
• 일시적 해가 안정된 상태 해와 유사해지는 특성 시간 척도는 $ \tau_1 = r_0^2 / (\nu j_1^2) $ 로 규명되었으며, 여기서 $ j_1 \approx 3.8317 $ 이므로 유체의 점성과 파이프 반지름에 의존한다.
• 수치적 검증을 통해, 항의 수 $ N \to \infty $ 일 때 푸리에-베셀 급수 해와 폐쇄형 해 사이의 차이 함수가 실수부와 허수부 모두에서 0으로 수렴하는 것으로 확인되었다.
• 해석에 따르면, 가장 느리게 감쇠되는 모드(즉, $ n=1 $ 에 해당하는 모드)가 일시적 감쇠를 지배하며, 이에 의해 특성 시간 척도 $ \tau_1 $ 가 정의된다.