[논문 리뷰] The Riemann Hypothesis for Angular Lattice Sums

Ross C. McPhedran, L. C. Botten외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 23.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소 거듭제곱과 격점 각도의 삼각함수를 포함하는 각도 격자 합의 빠른 수렴 공식을 제안한다. 이는 $\mathcal{C}(1,4m;s)$ 클래스의 이러한 합에 대해 리만 가설이 성립함과 동시에 리만 제타 함수와 카탈란 바이트 함수의 곱에 대해 리만 가설이 성립함이 동치임을 증명하며, 이 둘이 임계선에서 동일한 영점 분포를 가짐을 보여준다.

ABSTRACT

We present further results on a class of sums which involve complex powers of the distance to points in a two-dimensional square lattice and trigonometric functions of their angle, supplementing those in a previous paper (McPhedran {\em et al}, 2008). We give a general expression which permits numerical evaluation of members of the class of sums to arbitrary order. We use this to illustrate numerically the properties of trajectories along which the real and imaginary parts of the sums are zero, and we show results for the first two of a particular set of angular sums (denoted ${\cal C}(1,4 m;s)$) which indicate their density of zeros on the critical line of the complex exponent is the same as that for the product (denoted ${\cal C}(0,1;s)$) of the Riemann zeta function and the Catalan beta function. We then introduce a function which is the quotient of the angular lattice sums ${\cal C}(1,4 m;s)$ with ${\cal C}(0,1;s)$, and use its properties to prove that ${\cal C}(1,4 m;s)$ obeys the Riemann hypothesis for any $m$ if and only if ${\cal C}(0,1;s)$ obeys the Riemann hypothesis. We furthermore prove that if the Riemann hypothesis holds, then ${\cal C}(1,4 m;s)$ and ${\cal C}(0,1;s)$ have the same distribution of zeros on the critical line (in a sense made precise in the proof).

연구 동기 및 목표

• 복소 지수를 가진 각도 격자 합을 수치적으로 효율적이고 지수 수렴하는 방법으로 평가하기 위한 기법 개발.
• 임계선 $\Re(s) = 1/2$ 상에서 각도 격자 합의 영점 분포 연구.
• $\mathcal{C}(1,4m;s)$에 대한 리만 가설과 $\zeta(s)\beta(s)$의 곱에 대한 리만 가설 사이의 기능적 등가성 수립.
• 리만 가설이 성립할 경우, $\mathcal{C}(1,4m;s)$의 영점 분포가 $\zeta(s)\beta(s)$와 동일함을 보여줌.

제안 방법

• 복소해석학과 격자 합 정규화를 이용해 일반적이고 절대수렴하는 각도 격자 합 $\mathcal{C}(n,m;s)$ 및 $\mathcal{S}(n,m;s)$의 표현 유도.
• Mathematica 7.0.1를 활용한 수치적 평가를 통해 실수부와 허수부가 모두 0이 되는 궤적 계산.
• 임계선 상의 극과 영점을 분석할 수 있도록 $\mathcal{C}(1,4m;s)$와 $\mathcal{C}(0,1;s)$의 비율로 정의된 몫 함수 $\Delta_{4}(2,4;s)$ 도입.
• 상수 위상선을 따라 루프 통합과 위상 분석을 적용하여, 임계선 상에서 극과 영점이 번갈아가며 존재함을 증명.
• 각도 합의 함수방정식과 대칭성 특성을 활용해 그 행동을 디리클레 L-함수와 연결.
• $\mathcal{C}(1,4m;s)$의 영점 밀도가 $\zeta(s)\beta(s)$와 주로 동일한 순서로 일치함을 입증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 각도 격자 합 $\mathcal{C}(1,4m;s)$는 임계선 $\Re(s) = 1/2$ 상에서 $\zeta(s)\beta(s)$와 유사한 영점 밀도를 가지는가?
• RQ2 $\mathcal{C}(1,4m;s)$에 대한 리만 가설은 $\zeta(s)\beta(s)$에 대한 리만 가설과 등가인가?
• RQ3 복소 $s$-평면에서 상수 위상의 폐곡선 상에서 영점과 극의 분포는 어떠한가?
• RQ4 특히 임계대역 외부에서 합의 실수부와 허수부가 0이 되는 궤적은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 $\Delta_{4}(2,4;s)$가 $\mathcal{C}(1,4m;s)$와 $\mathcal{C}(0,1;s)$ 사이의 영점 분포와 가설의 타당성 등가성을 증명하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• $\mathcal{C}(1,4m;s)$의 영점 밀도는 임계선 $\Re(s) = 1/2$ 상에서 $\zeta(s)\beta(s)$와 주로 동일한 순서로 일치함.
• $\Delta_{4}(2,2;s)$의 경우 평균 셀 길이는 3.92이며 표준편차는 0.53이며, 무한대에서 극과 영점의 평균 간격은 약 3.90임.
• $\Delta_{4}(2,4;s)$의 경우 평균 셀 길이는 3.92이며 표준편차는 0.53이며, 무한대에서 극과 영점의 평균 간격은 약 3.90임.
• 몫 함수 $\Delta_{4}(2,4;s)$는 임계선 상에서 극과 영점이 번갈아가며 존재하는 유수함수로 나타나며, 영점 분포의 등가성을 뒷받침함.
• $\mathcal{C}(1,4m;s)$에 대한 리만 가설이 성립함과 동시에 $\mathcal{C}(0,1;s) = 4\zeta(s)L_{-4}(s)$에 대한 리만 가설이 성립함이 동치임을 입증하여 기능적 등가성 수립.
• 리만 가설이 성립할 경우, $\mathcal{C}(1,4m;s)$와 $\mathcal{C}(0,1;s)$는 위상 및 루프 분석을 통해 임계선 상에서 동일한 영점 분포 함수를 가짐을 증명함.