[논문 리뷰] The Riemann Magneton of the Primes

Danilo Merlini|ArXiv.org|2004. 04. 12.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리만 제타 함수와 관련된 함수 m(r)을 제시하며, r = 1 및 r = 0에서 그 도함수의 불연속성에 대해 분석한다. 각각의 정확한 값은 4π 및 (−4 + γ + 3ln2 + π/2)π이다. m(r)가 r = 1/2까지 유효함은 리만 가설과 동치이며, 리만 가설 하에서 m(1/2) = 0 이고 m′(1/2) = π(1 + γ) ≈ 4.95이다. 이는 전기장의 점프가 리우의 첫 번째 계수와 연결되어 있으며, 리만 가설에 대한 새로운 증거를 제공한다.

ABSTRACT

We present a calculation involving a function related to the Riemann Zeta function and suggested by two recent works concerning the Riemann Hypothesis: one by Balazard, Saias and Yor and the other by Volchkov. We define an integral m (r) involving the Zeta function in the complex variable s = r + it and find a particurarly interesting expression for m(r) which is rigorous at least in some range of r. In such a range we find that there are two discontinuities of the derivative m'(r) at r = 1 and r = 0, which we calculate exactly. The jump at r = 1 is given by 4*Pi, while that at r = 0 is given by (-4 + gamma + 3*log(2) + Pi/2)*Pi. The validity of the expression for m(r) up to r = 1/2 is equivalent to the truth of the Riemann Hypothesis (RH). Assuming RH the expression for m(r) gives m = 0 at r = 1/2 and the slope m'(r) = Pi*(1 + gamma) = 4.95 at r = 1/2 (where gamma = 0.577215... is the Euler constant). As a consequence, if the expression for m(r) can be continued up to r = 1/2, then if we interpret m(r) as the effective potential of a charged filament, in the presence of the unit charges located at all the zeros (trivial and non trivial zeros) and at the pole in one of the Riemann Zeta function then there is a jump of the electric field E(r) = m'(r) at r = 1/2 given by 2*Pi times the first Li's coefficient lambda_1 = [1+gamma/2-(1/2)ln(4*Pi)] = 0.0230957. We then construct a potential well (a symmetric function around x = r+1/2 = 1) which is exact if the RH is true. Independently of the RH, by looking at the behaviour of the convergent Taylor expansion of m(r) at r = 1-, the value m(r = 1/2+) as well as the first Li's coefficient may be evaluated using the Euler product formula. We give in this way further evidence for the possible truth of the Riemann Hypothesis.

연구 동기 및 목표

• 복소평면에서 리만 제타 함수를 포함하는 새로운 적분 함수 m(r)을 조사한다.
• 도함수 m′(r)를 분석하고 r = 1 및 r = 0에서의 불연속성을 규명한다.
• m(r)가 r = 1/2까지 유효함이 리만 가설의 진리와 동치임을 확립한다.
• 모든 제타 함수의 영점과 극점에 단위 전하를 부여한 전하 필라멘트의 효과적 위치함수로 m(r)를 해석하고, r = 1/2에서 전기장의 점프를 유도한다.
• Euler의 곱의 공식과 테일러 전개를 사용하여, 리만 가설에 의존하지 않고 m(r=1/2+)와 리우의 첫 번째 계수를 평가함으로써 리만 가설에 대한 추가적 증거를 제공한다.

제안 방법

• s = r + it일 때, 리만 제타 함수 ζ(s)를 포함하는 적분으로 m(r)를 정의한다.
• m′(r)을 계산하고, 해석적 계속 및 잔여치 분석을 통해 r = 1 및 r = 0에서 정확한 불연속성을 규명한다.
• 리만 가설이 성립할 경우에만 m(r)의 표현이 r = 1/2까지 유지됨을 증명한다.
• 모든 비자명한 영점과 자명한 영점, ζ(s)의 극점에 단위 전하를 부여한 전하 필라멘트의 위치함수로 m(r)를 모델링하고, m′(r)을 전기장 E(r)로 해석한다.
• Euler의 곱의 공식을 사용하여 r = 1−에서 수렴하는 테일러 전개에 기반해, 리만 가설에 의존하지 않고 m(r=1/2+)와 첫 번째 리우 계수 λ₁을 평가한다.
• 리만 가설을 가정할 때 정확한 대칭 위치함수 우물이 r = 1/2 = 1 주변에 구축된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 r = 1 및 r = 0에서 도함수 m′(r)의 불연속성의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ2 m(r)가 r = 1/2까지 유효함은 리만 가설과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 리만 가설을 가정할 경우 m(1/2) 및 m′(1/2)의 값은 무엇인가?
• RQ4 r = 1/2에서 전기장의 점프는 리우의 첫 번째 계수 λ₁과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 Euler의 곱의 공식과 테일러 전개를 사용하여 리만 가설에 의존하지 않고 m(r=1/2+)와 λ₁을 평가할 수 있는가?

주요 결과

• r = 1에서 m′(r)의 점프는 정확히 4π이다.
• r = 0에서 m′(r)의 점프는 정확히 (−4 + γ + 3ln2 + π/2)π이며, 여기서 γ는 오일러-마스케로니 상수이다.
• m(r)의 표현이 r = 1/2까지 유효함은 리만 가설의 진리와 동치이다.
• 리만 가설 하에서 m(1/2) = 0 이고 m′(1/2) = π(1 + γ) ≈ 4.95이다.
• r = 1/2에서 전기장의 점프는 2π배의 첫 번째 리우 계수 λ₁ = 1 + γ/2 − (1/2)ln(4π) ≈ 0.0230957과 같다.
• Euler의 곱의 공식과 r = 1−에서의 수렴하는 테일러 전개를 사용하여, 리만 가설에 의존하지 않고 m(r=1/2+)와 λ₁를 평가할 수 있으며, 이는 리만 가설의 진리에 대한 추가적 증거를 제공한다.