[논문 리뷰] The Riemann Zeta-Function and Hecke Congruence Subgroups. II

Yoichi Motohashi|ArXiv.org|2007. 09. 17.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ A(s) $가 제곱-free 정수 위에 지지된 유한한 디리클레 급수일 때, $ M_2(g;A) = \int_{-\infty}^{\infty} |\zeta(1/2 + it)|^4 |A(1/2 + it)|^2 g(t) dt $의 엄밀한 스펙트럼 분해를 제공한다. 이는 관련 멜린 변환 $ Z_2(s;A) $가 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 위에 무수히 많은 단순 극을 가짐을 증명하여, 리만 제타함수의 여섯 번째 모멘트 $ Z_3(s;1) $가 임계선을 자연경계로 가진다는 추측에 명백한 증거를 제공한다.

ABSTRACT

This is a rework of our old file, which has been left unpublished since September 1994, on an explicit spectral decomposition of the fourth power moment of the Riemann zeta-function against a weight which is the square of a Dirichlet polynomial. At this occasion we add an explicit treatment of generalized Kloosterman sums associated with arbitrary Hecke congruence subgroups (Section 15), which might have an independent interest. At the end (Section 36) of our discussion, we set out a few problems on the distribution of eigenvalues of the hyperbolic Laplacian, which appear to us to be related to the nature of the sixth power moment of the Riemann zeta-function. The contents of this work were presented in a worshop at RIMS Kyoto University on October 18, 2007. In this second version, some corrections are made in the part on generalized Kloosterman sums, and in Addendum a mention is made concerning a recent work by C.P. Hughes and M.P. Young (0709.2345).

연구 동기 및 목표

• 이전 연구에서 부분적으로 다뤄진 바 있는 $ Z_2(s;A) = \int_1^{\infty} |\zeta(1/2+it)|^4 |A(1/2+it)|^2 t^{-s} dt $의 멜린 변환에 대해 엄밀한 다루기를 제공한다.
• 리만 제타함수의 성질에 기반한 명시적 방법을 사용하여, 가중치 $ A(s) $를 가진 네 번째 모멘트의 스펙트럼 분해를 조사한다.
• 제곱의 모멘트 $ M_3(g;1) $를 이해하기 위한 기초를 마련하기 위해, 네 번째와 여섯 번째 모멘트 사이에 위치하는 $ Z_2(s;A) $를 분석한다.
• 특히 $ Z_2(s;A) $가 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 위에 무수히 많은 단순 극을 가짐을 보여주어, $ Z_3(s;1) $가 임계선을 자연경계로 가진다는 것을 시사한다.
• 미래의 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $의 스펙트럼 이론에 대한 동기를 제공하며, 여섯 번째 모멘트가 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})\backslash\mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $의 실 랭크 2의 구조와 연결됨을 제시한다.

제안 방법

• 공식 $ M_2(g;A) = \sum_{a,b,c\atop{(a,b)=1}} \frac{\alpha_{ac} \overline{\alpha_{bc}}}{c\sqrt{ab}} I_2(g;b/a) $ 를 통해 $ M_2(g;A) $의 명시적 스펙트럼 분해를 유도하며, 여기서 $ I_2 $ 는 제타함수의 네 제곱을 포함한다.
• 다변수 적분 $ I(u,v,w,z;g;b/a) = -i \int_{(0)} \zeta(u+t)\zeta(v-t)\zeta(w+t)\zeta(z-t) (b/a)^t g(-it) dt $ 를 도입하여, 이는 $ \mathbb{C}^4 $ 상에서 매끄럽지 않은 함수이며, 경로 이동을 통해 그 해석적 계속을 도출한다.
• 근사 함수 방정식을 적용하여 $ |\zeta(1/2+it)|^2 $ 를 $ c,d $ 에 대한 유한한 합으로 표현함으로써, 평균값을 스펙트럼 항과 비스펙트럼 항으로 분해한다.
• 스펙트럼 기여를 $ \Gamma_0(cd) $ 위의 자동형함수의 합을 통해 분석하며, 스펙트럼 측도 $ \frac{h(\kappa_j)}{\cosh \pi \kappa_j} $ 와 아이젠스타이니 급수 $ R_j(1/2,0) $ 를 사용한다.
• 정적 위상 방법과 경로 적분을 적용하여 비스펙트럼 항 $ \mathcal{H}_a $ 의 크기를 추정하며, $ a=5,6,7 $ 에서 이들이 무시할 만큼 작다는 것을 보인다.
• 특수 공식 $ \mathcal{D}_3^3(u,v;h) $ 과 코시의 적분 공식을 사용하여 $ \mathcal{H}_7 $ 가 무시할 수 있음을 보이고, 이는 주요 점근적 표현을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중치가 있는 네 번째 모멘트 $ |\zeta(1/2+it)|^4 |A(1/2+it)|^2 $ 의 멜린 변환 $ Z_2(s;A) $ 는 임계선 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 에 극을 가지는가?
• RQ2 스펙트럼 분해를 통한 $ M_2(g;A) $ 의 분석이, 여섯 번째 모멘트의 멜린 변환 $ Z_3(s;1) $ 가 임계선을 자연경계로 가진다는 데 대한 증거를 제공할 수 있는가?
• RQ3 스펙트럼 매개변수 $ \kappa $ 의 집합 중에서 $ \kappa^2 + 1/4 \in \mathrm{Sp}(\Gamma_0(cd)) $ 를 만족하는 것이 양의 실수축에 조밀한가?
• RQ4 이 논문에서 사용된 방법을 $ Z_2(s;A) $ 에서의 기반으로 삼아, $ Z_3(s;1) $ 에서 낮은 레벨의 극을 탐지할 수 있는가, 특히 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 근처에서?
• RQ5 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ 의 스펙트럼 구조는 제타함수의 여섯 번째 모멘트의 기대되는 이중 적분 구조와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 만약 $ \alpha_n $ 이 제곱-free 정수 위에 지지되고 $ \alpha_n > 0 $ 이라면, 멜린 변환 $ Z_2(s;A) $ 는 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 선 위에 무수히 많은 단순 극을 가진다.
• 스펙트럼 합 $ \sum_{\kappa} \mathcal{R}(\kappa;A) \frac{h(\kappa)}{\cosh \pi \kappa} \sim \frac{8}{3\pi^{3/2}} G K^3 (\log K)^3 \sum_{c,d} \mathcal{A}(c,d) \prod_{p|c} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right) $ 를 얻으며, 여기서 $ \mathcal{A}(c,d) $ 는 $ A $ 의 푸리에 계수를 통해 정의된다.
• 비스펙트럼 항 $ \mathcal{H}_5, \mathcal{H}_6, \mathcal{H}_7 $ 이 평균값에 기여하는 부분은 $ \ll K^{7/2} (\log K)^7 $ 이며, 이는 주항인 $ K^3 (\log K)^3 $ 에 비해 무시할 만하다.
• 스펙트럼 합은 $ G K^3 (\log K)^3 \prod_{p|c} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right) $ 에 비례하는 점근적 성질을 가지며, 여기서 $ G $ 는 가중치 $ g $ 와 수준 $ cd $ 에 따라 결정되는 상수이다.
• 이 결과는 $ Z_3(s;1) = \int_1^{\infty} |\zeta(1/2+it)|^6 t^{-s} dt $ 가 임계선 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 을 자연경계로 가진다는 것을 처음으로 명시적인 증거로 제공한다.
• 이 방법은 여섯 번째 모멘트가 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ 의 실 랭크 2의 구조를 반영하는 이중 적분으로 표현될 수 있어야 한다는 것을 시사하며, 이는 $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ 에 기반한 네 번째 모멘트의 단일 적분과 유사한 형태이다.