[논문 리뷰] The Riemann-zeta function on vertical arithmetic progressions

Xiannan Li, Maksym Radziwiłł|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 13.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 수직 산술급수 $\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta)$ 위에서 리만 제타함수의 두 번째 모멘트가 실수선 $\mathbb{R}$ 위의 연속 평균과 渐近적으로 일치함을 증명하며, 이는 $\alpha$의 디오판틴성 성질에 따라 달라지는 보정 인자 $\delta(\alpha,\beta)$를 포함한다. 핵심적으로, 모리피어로 휘어진 경우 이 의존성은 사라지며, 이는 산술급수 위에서 강력한 영점 밀도 및 극값 결과를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We show that the twisted second moments of the Riemann zeta function averaged over the arithmetic progression $1/2 + i(an + b)$ with $a > 0$, $b$ real, exhibits a remarkable correspondance with the analogous continuous average and derive several consequences. For example, motivated by the linear independence conjecture, we show at least one third of the elements in the arithmetic progression $a n + b$ are not the ordinates of some zero of $ζ(s)$ lying on the critical line. This improves on earlier work of Martin and Ng. We then complement this result by producing large and small values of $ζ(s)$ on arithmetic progressions which are of the same quality as the best $Ω$ results currently known for $ζ(1/2 + it)$ with $t$ real.

연구 동기 및 목표

• 수직 산술급수를 따라 $\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$의 값 분포를 이해하기 위해.
• 이러한 수열 위에서 $\zeta(s)$의 두 번째 모멘트가 실수선 $\mathbb{R}$ 위의 연속 평균과 유의미하게 다를지 여부를 판단하기 위해.
• 특히 모리피어로를 포함한 딜리클 다항식의 변형이 연속적인 $t \in \mathbb{R}$에서와 유사하게 이산 산술 수열에서 어떻게 작용하는지 조사하기 위해.
• 이러한 결과를 선형 독립성 추측에 적용하여, 임계선 위에서 $\zeta(s)$의 영점이 될 수 있는 점들의 비율을 제한하기 위해.

제안 방법

• 산술급수 위에서 $\zeta(s)$의 두 번째 모멘트를 분석하기 위해 근사 함수 방정식과 보로노이 합성을 사용하기 위해.
• 모든 $\ell > 0$에 대해 $e^{2\pi\ell/\alpha}$가 유리수인지 무리수인지에 따라 달라지는 디오판틴 행동을 캡처하는 보정 인자 $\delta(\alpha, \beta)$를 도입하기 위해.
• 이중 간격 $[T, 2T]$ 위의 합을 국소화하기 위해 부드러운 가중 함수 $\phi(\ell/T)$를 적용하기 위해.
• 진동을 억제하고 두 번째 모멘트에서 상쇄를 이루기 위해 모리피어로 $M_\theta(s)$를 사용하여, 주항목이 연속 적분과 일치하도록 유도하기 위해.
• 조약의 조건인 $|a_\ell/b_\ell - e^{2\pi\ell/\alpha}| \leq e^{2\pi\ell/\alpha}/T^{1-\eta}$를 활용하여 약수 합과 지수 합의 경계를 통해 오차 항을 추정하기 위해.
• 수론적 조건인 $ha_\ell \mid kb_\ell m$을 이용해 $m,n$에 대한 이중 합을 단일 합으로 줄이고, 제타 함수 항등식을 통해 추정하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산술급수 $\ell \in [T, 2T]$ 위에서 $\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$의 두 번째 모멘트가 연속 적분 $\int_T^{2T} |\zeta(\frac{1}{2} + it)|^2 dt$와 다를까?
• RQ2 $\alpha$와 $\beta$의 디오판틴 성질이 두 번째 모멘트에 어떤 영향을 미치며, 이는 $\delta(\alpha, \beta)$를 통해 정량화될 수 있는가?
• RQ3 모리피어로로 휘어진 두 번째 모멘트 $\sum |\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta)) M_\theta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))|^2$도 여전히 연속 평균을 근사하는가? 특히 $\alpha, \beta$가 나쁜 근사성을 가질 경우에도 말이다?
• RQ4 산술급수 위에서 $\zeta(s)$의 행동을 이용해, $\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta)$ 중 일부가 $\zeta(s)$의 영점이 될 수 없음을 배제할 수 있는가?
• RQ5 실수 $t$에 대해 $\zeta(\frac{1}{2} + it)$의 극값 크기와 비교할 때, $\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$의 극값 크기는 유사한가?

주요 결과

• 산술급수 $\ell \in [T, 2T]$ 위에서 $\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$의 두 번째 모멘트는 $\sum_{\ell} |\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))|^2 \phi(\ell/T) = \left(1 + \delta(\alpha, \beta) + o(1)\right) \int_{\mathbb{R}} |\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha t + \beta))|^2 \phi(t/T) dt$를 만족하며, 이때 $\delta(\alpha, \beta)$는 디오판틴 의존성을 캡처한다.
• 모리피어로 $M_\theta(s)$로 휘어진 두 번째 모멘트 $\mathcal{J}$는 $\mathcal{J} = \int_{\mathbb{R}} |(\zeta M_\theta)(\frac{1}{2} + i(\alpha t + \beta))|^2 \phi(t/T) dt + O\left(\frac{T}{(\log T)^{1-\varepsilon}}\right)$를 만족하며, 이는 $\delta(\alpha, \beta)$에 영향을 받지 않는다.
• 임계선 위에서 적어도 삼분의 일 이상의 점 $\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta)$는 $\zeta(s)$의 영점이 아니며, 이는 Martin과 Ng의 결과를 향상시킨다.
• 실수 $t$에 대해 $\zeta(\frac{1}{2} + it)$의 최고 결과와 동일한 $\Omega$-순서에 도달하는 $\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$의 큰 값과 작은 값을 구성함으로써, 산술급수 위에서도 극값 행동이 유지됨을 확인한다.
• 모든 $\ell > 0$에 대해 $e^{2\pi\ell/\alpha}$가 무리수이면 보정 인자 $\delta(\alpha, \beta)$는 0이며, 그렇지 않으면 가장 작은 $m/n \neq 1$에 대해 $\cos(\beta \log(m/n))$의 유리함수 형태가 된다.
• 모리피어로된 모멘트의 오차 항은 $O\left(\frac{T}{(\log T)^{1-\varepsilon}}\right)$이며, 이는 거의 최적이며 영점이 없는 영역과 값 분포에 대한 강력한 응용을 가능하게 한다.