[논문 리뷰] The ring of arithmetical functions with unitary convolution: Divisorial and topological properties

Jan Snellman|ArXiv.org|2002. 01. 10.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단위수(convolution)에 대한 산술 함수의 환과 가 countably many 변수에 대한 멱급수 환의 몫 사이의 동형사상 수립하며, 자연스러운 노름을 통해 이 환에 위상수를 도입하고, 모든 이상이 준유한(quasi-finite) 임을 증명한다. 원자성, 유한한 인수 분해 길이, 풍부한 정규 비역원의 존재를 보이며, 제곱 자유 정수에 지지된 함수의 부분환은 쐐기(retract)이자 단항식 몫환과 동형임을 보인다.

ABSTRACT

We study the ring of arithmetical functions with unitary convolution, giving an isomorphism to a generalized power series ring on infinitely many variables, similar to the isomorphism of Cashwell-Everett between the ring of arithmetical functions with Dirichlet convolution and the power series ring on countably many variables. We topologize it with respect to a natural norm, and shove that all ideals are quasi-finite. Some elementary results on factorization into atoms are obtained. We prove the existence of an abundance of non-associate regular non-units.

연구 동기 및 목표

• 단위수(convolution)에 대한 산술 함수의 환의 대수적 및 위상적 구조를 조사한다.
• 이 환과 무한 변수에 대한 일반화된 멱급수 환 사이의 동형사상을 수립한다.
• 자연스러운 노름을 사용하여 이 환에 위상을 도입하고, 모든 이상이 준유한 임을 증명한다.
• 요소별 인수 분해 길이의 유한성과 정규 비역원의 존재를 포함한 인수 분해 성질을 분석한다.
• 제곱 자유 정수에 지지된 함수의 부분환은 쐐기이자 단항식 몫환과 동형임을 보인다.

제안 방법

• 단위수(divisor) $ d \lvert\lvert n $ 이라 함은 $ d $ 가 $ n $ 의 단위수 약수임을 의미하며, $ f \oplus g(n) = \sum_{d \lvert\lvert n} f(d)g(n/d) $ 를 통해 단위수(convolution)를 정의한다.
• $ (\mathcal{A}, +, \oplus) $ 와 $ \mathbb{C}[[x_1, x_2, \dots]] / J $ 사이의 동형사상을 구축한다. 여기서 $ J $ 는 제곱 자유가 아닌 단항식들의 이상이다.
• 노름 $ |f| = 1 / \min\{k : f(k) \neq 0\} $ 을 도입하여, $ (\mathcal{A}, |\cdot|) $ 가 노름 환이 되도록 한다.
• 모든 이상이 준유한 임을 증명한다. 즉, $ |e_k| \to 0 $ 인 수열 $ (e_k) $ 가 존재하여, 모든 원소가 수렴하는 합 $ \sum c_k e_k $ 로 표현 가능하다.
• 소수 거듭제곱 인수 분해의 구조를 이용하여, 각 $ e_n $ 이 $ e_{p^a} $ 들의 단위수 곱으로 유일하게 표현됨을 보이며, 이로써 단항식 동형사상을 가능하게 한다.
• 제곱 자유 정수에 지지된 함수의 부분환 $ \mathfrak{C} $ 가 닫힌 $ \mathbb{C} $-부분환이며, 사영 사상 $ p(f) $ 를 통해 쐐기임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위수(convolution)에 대한 산술 함수의 환은 가 countably many 변수에 대한 멱급수 환의 몫과 동형인가?
• RQ2 이 환에 자연스러운 노름을 도입하면 모든 이상이 준유한가?
• RQ3 주어진 요소에 대해 원자로의 인수 분해 길이가 유한한가?
• RQ4 이 환에는 풍부한 정규 비역원이 존재하는가?
• RQ5 제곱 자유 정수에 지지된 함수의 부분환은 단위수(convolution)에 대해 전체 환의 쐐기인가?

주요 결과

• 환 $ (\mathcal{A}, +, \oplus) $ 는 $ J $ 가 제곱 자유가 아닌 단항식들의 이상일 때, $ \mathbb{C}[[x_1, x_2, \dots]] / J $ 와 동형이다.
• 주어진 노름 하에서 $ (\mathcal{A}, +, \oplus) $ 의 모든 이상은 준유한이다.
• 이 환은 원자적이며, 모든 요소에 대해 인수 분해 길이가 유한하다.
• 풍부한 정규 비역원이 존재하며, 이 환은 반요약 인수 분해 반환, 유한 인수 분해 반환이나 약한 유한 인수 분해 반환이나 원자적 idf-환도 아니다.
• 제곱 자유 정수에 지지된 함수의 부분환 $ \mathfrak{C} $ 는 $ \mathcal{A} $ 의 쐐기이며, $ \mathfrak{C} \simeq \mathbb{C}[[x_1, x_2, \dots]] / J $ 이다.
• 모든 단위의 Multiplicative inverse 는 $ \mathfrak{C} $ 에 속하며, $ \mathfrak{C} $ 는 유일한 비역원 최대 이상을 가지는 국소 반환이다.