[논문 리뷰] The role of Boolean functions in hiding sums as trapdoors for some block ciphers

Riccardo Aragona, Marco Calderini외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 27.

Coding theory and cryptography참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 블록 암호 내에서 암호학적 백도어가 될 수 있는 '숨겨진 합'—블록 암호 내의 대체 벡터 공간 구조—를 소개한다. 이는 '반대-꼬부라진'(anti-crooked) 함수로 불리는 클래스를 도입하여 이러한 백도어를 저지하는 부울 함수 S-박스의 특성을 규명하며, 라운드 수나 키 스케줄의 복잡성과는 무관하게 오직 7회의 암호화로만 가능해지는 키 복구 공격이 가능한 토이 암호를 시연한다.

ABSTRACT

Most modern block ciphers are built using components whose cryptographic strength is evaluated in terms of their resistance to attacks on the whole cipher. In particular, differential properties of vectorial Boolean functions are studied for the S-Boxes to thwart differential cryptanalysis. Little is known on similar properties to avoid trapdoors in the design of the block cipher. In this paper we present a form of trapdoors coming from alternative vector space structures, which we call hidden sums, and give a characterization on the Boolean function S-Box to avoid any such hidden sum. We also study some properties of this new class of vectorial Boolean functions, which we call anti-crooked, and provide a toy cipher with a hidden sum trapdoor.

연구 동기 및 목표

• 대체 벡터 공간 구조로 불리는 '숨겨진 합'이라 불리는 새로운 종류의 블록 암호 내 백도어를 식별하고 체계화하는 것.
• 특히, 벡터형 부울 함수인 S-박스의 성질을 규명하여 이러한 숨겨진 합 백도어의 존재를 방지하는 조건을 도출하는 것.
• 숨겨진 합 공격에 저항하는 성질을 갖는 새로운 부울 함수의 클래스인 '반대-꼬부라진' 함수를 정의하고 분석하는 것.
• 숨겨진 합 백도어를 가진 토이 암호를 구축하고, 표준 보안 가정을 우회하는 실용적인 키 복구 공격을 시연하는 것.

제안 방법

• 블록 암호 구성 요소를 군 작용으로 모델링하며, 특히 AGL(V,∘)라 불리는 아핀 군을 사용한다. 여기서 ∘는 숨겨진 합 연산이다.
• 집합 V 위에 링 구조 (V,∘,·)와 군 연산 ⋆를 정의하여, 아벨 정규부군 T가 (V,⋆)와 동형임을 보장한다.
• 이so모르피즘을 통해 번역군 T와 군 (V,⋆) 간의 관계를 유도하고, 맵 κ_y: x ↦ κ_y(x)∘y를 도출하여 숨겨진 합과 선형 변환 간의 연결 고리를 확립한다.
• 키 핵심 식인 κ_{x⋆y} = κ_y ∘ κ_x를 유도하여, y ↦ κ_y의 상이 (V,∘) 위에서 유니포텐트하게 작용하는 p-군을 이룬다는 것을 보여준다.
• 유도된 구조를 사용하여, V = (F₂)^6 위에서 정의된 특정한 숨겨진 합 ∘′을 사용하는 6비트 키 공간을 가진 토이 암호에 적용한다.
• 선택 평문 또는 선택 평문/선택 암호문 공격을 통해, AGL(V,∘′) 내 암호화 함수의 행렬 M과 이동 벡터 t를 오직 7회의 암호화 또는 14회의 연산으로 복구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대체 벡터 공간 구조(숨겨진 합)는 어떻게 활용되어 블록 암호 내에서 탐지하기 어려운 백도어를 만들 수 있는가?
• RQ2 벡터형 부울 함수 S-박스는 어떤 성질을 가져야 이러한 숨겨진 합 백도어의 존재를 방지할 수 있는가?
• RQ3 숨겨진 합 구성에 본질적으로 저항하는 새로운 부울 함수의 클래스를 정의할 수 있는가?
• RQ4 숨겨진 합 백도어는 실제로 얼마나 효과적으로 악용될 수 있으며, 얼마나 효율적으로 이를 해독할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 숨겨진 합이 존재하지 않는다는 점을 특징으로 하는 '반대-꼬부라진' 벡터형 부울 함수의 클래스를 도입한다.
• 숨겨진 합 백도어는 라운드 수나 키 스케줄 복잡성과는 무관하게 오직 7회의 암호화로만 가능한 키 복구 공격을 통해 악용될 수 있다.
• 공격은 AGL(V,∘′) 내 암호화 함수의 행렬 M과 이동 벡터 t를 복구함으로써 암호의 완전한 재구성 가능성을 보장한다.
• 공격은 효율적이다: 약 7회의 암호화(선택 평문) 또는 14회의 연산(선택 평문/선택 암호문)으로 수행되며, 이는 브루트 포스보다 훨씬 낮은 비용이다.
• 모든 x,y ∈ U에 대해 x⋆y = x∘y를 만족하는 비자명한 부분군 U ⊆ V의 존재는 숨겨진 합이 존재함을 시사하며, 이는 구조적 분석을 통해 탐지 가능하다.
• 논문은 표준 AES 유사 암호가 숨겨진 합 백도어를 포함하도록 확장될 수 있음을 시연하며, 그러한 취약성을 지닌 구체적인 토이 암호를 제공한다.