[논문 리뷰] The role of the boundary term in $f(Q,B)$ symmetric teleparallel gravity

Salvatore Capozzıello, Vittorio De Falco외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 25.

Cosmology and Gravitation TheoriesPhysics and Astronomy인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비측도성 스칼라 $Q$와 경계항 $B$의 함수인 $f(Q,B)$ 대칭 텔레파라렐 중력 이론을 조사한다. 이는 $f(Q,B) = f(Q - B)$ 모델이 $f(R)$ 중력과 역학적으로 동치임을 보이며, 확장된 기하학적 삼위일체의 프레임워크 안에서 $f(R)$, $f(T,\tilde{B})$, $f(Q,B)$를 통합한다. 변분 접근법을 통해 일관된 장 방정정식과 보존 법칙을 유도한다.

ABSTRACT

In the framework of metric-affine gravity, we consider the role of the boundary term in Symmetric Teleparallel Gravity assuming $f(Q,B)$ models where $f$ is a smooth function of the non-metricity scalar $Q$ and the related boundary term $B$. Starting from a variational approach, we derive the field equations and compare them with respect to those of $f(Q)$ gravity in the limit of $B o0$. It is possible to show that $f(Q,B)=f(Q-B)$ models are dynamically equivalent to $f(R)$ gravity as in the case of teleparallel $f( ilde{B}-T)$ gravity (where $B eq ilde{B}$). Furtherrmore, conservation laws are derived. In this perspective, considering boundary terms in $ f(Q)$ gravity represents the last ingredient towards the Extended Geometric Trinity of Gravity, where $f(R)$, $f(T, ilde{B})$, and $f(Q,B)$ can be dealt with under the same standard. We also compare and discuss about the Gibbons-Hawking-York boundary term of General Relativity and the boundary term $B$ in $f(Q,B)$ gravity.

연구 동기 및 목표

• 메트릭-아핀 중력 내에서 $f(Q,B)$ 대칭 텔레파라렐 중력 이론에서 경계항 $B$의 역할을 조사한다.
• 변분 원리를 사용하여 $f(Q,B)$ 중력에 대해 일관된 장 방정식을 유도한다.
• $f(Q,B) = f(Q - B)$ 모델과 $f(R)$ 중력 간의 역학적 동치성을 확립한다.
• 확장된 기하학적 삼위일체의 틀 안에서 $f(R)$, $f(T,\tilde{B})$, $f(Q,B)$ 중력을 통합한다.
• 일반 상대성 이론에서의 깁스-하우킹-요르 경계항과 $f(Q,B)$ 중력에서의 $B$ 항을 비교한다.

제안 방법

• 변분 원리를 적용하여 $f(Q,B)$ 중력의 장 방정식을 유도하며, $Q$와 $B$를 독립 변수로 간주한다.
• 비측도성 스칼라 $Q = Q_{\alpha\mu\nu}Q^{\alpha\mu\nu}$와 경계항 $B = \partial_\alpha (Q^{\alpha\mu\nu}g_{\mu\nu})$를 정의한다.
• 레비-치비타 접속 $\accentset{\circ}{\Gamma}$와 비측도성 텐서 $Q_{\alpha\mu\nu} = \nabla_\alpha g_{\mu\nu}$를 사용하여 기하학적 양을 표현한다.
• 행동을 메트릭 $g^{\mu\nu}$에 대해 변분하여 장 방정식을 유도하며, 다음을 얻는다: $\accentset{\circ}{G}_{\mu\nu}f_Q - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}(f - f_Q Q - f_B B) + \partial_\lambda(f_Q + f_B)2P^\lambda_{\ \mu\nu} - g_{\mu\nu}\accentset{\circ}{\Box}f_B + \accentset{\circ}{\nabla}_\mu\accentset{\circ}{\nabla}_\nu f_B = \chi\Theta_{\mu\nu}$.
• 경계항 $B \to 0$의 극한을 분석하여 $f(Q)$ 중력을 복원하고, $f(R)$ 중력과 비교한다.
• 텐서 항등식과 공변 미분을 통해 장 방정식의 일관성과 보존 법칙을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계항 $B$의 포함이 $f(Q,B)$ 중력의 장 방정식에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 $f(Q,B) = f(Q - B)$와 $f(R)$ 중력 간의 역학적 동치성은 무엇인가?
• RQ3 $f(Q,B)$ 중력에서의 경계항 $B$는 일반 상대성 이론의 깁스-하우킹-요르 경계항과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 $f(Q,B)$ 중력을 $f(R)$ 및 $f(T,\tilde{B})$ 중력과 하나의 기하학적 틀 안에서 통합할 수 있는가?
• RQ5 변분 원리로부터 유도된 $f(Q,B)$ 중력에서의 보존 법칙과 일관성 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 장 방정식은 일관된 변분 원리에 기반하며, 경계항 $B$가 동역학적으로 핵심적인 역할을 한다.
• $f(Q,B) = f(Q - B)$ 모델은 $f(R)$ 중력과 역학적으로 동치이며, 기하학적 삼위일체를 대칭 텔레파라렐 표현으로 확장한다.
• $B \to 0$ 극한에서 $f(Q,B)$ 중력은 $f(Q)$ 중력으로 축소되며, 문헌에서 알려진 결과를 회복한다.
• $f(Q,B)$ 중력에서의 경계항 $B$는 텔레파라렐 중력에서의 $\tilde{B}$ 항과는 동치가 아니지만, 둘 다 경계 기여와 관련되어 있다.
• 보존 법칙이 도출되었으며, 이는 이론 내에서 에너지-모멘텀 텐서 $\Theta_{\mu\nu}$ 가 보존됨을 보여준다.
• $f(Q,B) = Q + B$ 경우에 장 방정식은 일반 상대성 이론의 것과 일치하며, 적절한 극한에서 표준 모델과의 일致성을 확인한다.