[논문 리뷰] The role of viscous regularization in dynamical problems, strain localization and mesh dependency

Alexandros Stathas, Ioannis Stefanou|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 19.

Elasticity and Material Modeling참고 문헌 58인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 복소 주파수 및 복소 波수 영역으로의 분산 분석을 확장하여, 점탄성점성모델에서 점성 정규화의 재고찰을 통해, 이러한 조건 하에서도 수학적 평면상의 변형률 국중화가 가능하다는 것을 증명한다. 본 연구는 유한요소 해석에서 변형률 연화 재료의 동적 정규화에 관해 이전에 널리 받아들여진 가정을 도전하며, 메쉬에 의존하는 국중화가 점성 정규화가 있음에도 불구하고 불안정한 파동 전파 모드로 인해 발생한다는 점을 밝혀낸다.

ABSTRACT

Strain localization is responsible for mesh dependence in numerical analyses concerning a vast variety of fields such as solid mechanics, dynamics, biomechanics and geomechanics. Therefore, numerical methods that regularize strain localization are paramount in the analysis and design of engineering products and systems. In this paper we revisit the elasto-viscoplastic, strain-softening, strain-rate hardening model as a means to avoid strain localization on a mathematical plane in the case of a Cauchy continuum. Going beyond previous works (de Borst and Duretz (2020); Needleman (1988); Sluys and de Borst (1992); Wang et al. (1997)), we assume that both the frequency {\omega} and the wave number k belong to the complex plane. Therefore, a different expression for the dispersion relation is derived. We prove then that under these conditions strain localization on a mathematical plane is possible. The above theoretical results are corroborated by extensive numerical analyses, where the total strain and plastic strain rate profiles exhibit mesh dependent behavior.

연구 동기 및 목표

• 변형률 연화 조건 하에서 점탄성점성 재료의 안정성 및 국중화 거동을 조사하기 위해.
• 실수 주파수를 통한 점성 정규화가 유한요소 시뮬레이션에서 메쉬 의존성을 제거한다는 가정을 도전하기 위해.
• 복소 주파수 및 파수의 역할을 국중화의 분산 관계에서 분석하기 위해.
• 복소 주파수 ω와 복소 파수 k를 동시에 고려할 경우, 점성 정규화 하에서도 수학적 평면상의 변형률 국중화가 가능하다는 것을 입증하기 위해.
• 동적 변형률 연화 문제에서 균일한 변형 상태의 리아푸노프 안정성 분석을 수행하기 위해.

제안 방법

• 주파수 ω와 파수 k가 모두 복소 평면에 속한다고 가정하여 새로운 분산 관계를 유도한다.
• 균일한 변형 상태의 안정성을 평가하기 위해 리아푸노프 안정성 분석을 적용한다.
• 점탄성점성 재료에서 국중화의 시작을 분석하기 위해 분기 분석을 수행한다.
• 편미분 성장률을 평가하기 위해 상이한 위상 속도(cr)와 진폭 속도(ci)를 갖는 단색 정현파 펄스를 분석한다.
• 복소 해석 및 르로피탈의 정리를 적용하여 복소 평면 상의 임계점에서 파수의 점근적 행동을 평가한다.
• 이론적 예측의 메쉬에 의존하는 국중화 행동을 검증하기 위해 수치 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동적 점탄성점성 모델에서 점성 정규화가 적용된 상태에서도, 수학적 평면상의 변형률 국중화가 발생할 수 있는가?
• RQ2 복소 주파수 ω와 복소 파수 k를 가정할 경우, 실수 주파수 ω를 가정한 경우와 비교해 안정성 및 국중화 거동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 위상 속도(cr)와 진폭 속도(ci)의 상대적 크기가 균일한 변형 상태의 안정성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 왜 점성 정규화가 있음에도 불구하고 메쉬 의존성이 유지되는가? 이는 복소 파동 전파와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 왜 특정 조건에서 편미분이 지수적으로 증가하여 불안정성과 잠재적 국중화를 유도하는가?

주요 결과

• 복소 주파수 ω와 복소 파수 k를 동시에 고려할 경우, 점성 정규화가 적용된 상태에서도 수학적 평면상의 변형률 국중화가 가능하며, 이는 이전의 가정과 정면으로 배치된다.
• 진폭 속도 ci와 위상 속도 cr이 안정성을 결정한다: |ci| > |cr| 이거나 ci와 cr의 부호가 반대일 경우 국중화가 발생한다.
• ci < 0 이고 cr > 0 이면, 편미분은 감쇠되어 안정성을 보장하고 국중화를 방지한다.
• ci > 0 이고 cr < 0 이면, 진폭은 펄스의 앞부분에서 가장 빠르게 증가하여 지수적 증가를 유도하고, 최소 메쉬 크기에서 필수적으로 국중화가 발생한다.
• 이론적 분석에 따르면, 허수 파수 ki는 |zr| → 0 일 때 실수 상수 c로 수렴하며, 이는 안정적인 물결 전파를 의미한다.
• 수치 결과는 총 변형률 및 플라스틱 변형률률 프로파일에서 메쉬에 의존하는 행동을 확인하여 이론적 불안정성 예측을 검증한다.