[논문 리뷰] The Sasaki Join, Hamiltonian 2-forms, and Constant Scalar Curvature

Charles P. Boyer, Christina W. Tønnesen-Friedman|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 11.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정규 Sasaki 다양체와 가중치가 부여된 Sasaki 3-구면체를 결합하는 일반화된 조인 구조를 제안하여, 상수 스칼라 곡률 (CSC)을 갖는 새로운 명시적 Sasaki 계량을 생성한다. 이는 Sasaki-Einstein 계량을 포함한다. 결과로 얻어진 Kähler 오비폴드 기저 위에서 해밀턴 2형식을 이용한 Sasaki 콘 내의 변형을 통해, 고정된 CR 및 접촉 다양체 위에서 다수의 CSC 광선—비정칙적인 것들까지 포함—이 존재함을 증명한다. 이는 차원 $2n+3$인 컴act Sasaki 다양체에 대해 성립한다.

ABSTRACT

We describe a general procedure for constructing new Sasaki metrics of constant scalar curvature from old ones. Explicitly, we begin with a regular Sasaki metric of constant scalar curvature on a 2n+1-dimensional compact manifold M and construct a sequence, depending on four integer parameters, of rays of constant scalar curvature (CSC) Sasaki metrics on a compact Sasaki manifold of dimension $2n+3$. We also give examples which show that the CSC rays are often not unique on a fixed strictly pseudoconvex CR manifold or a fixed contact manifold. Moreover, it is shown that when the first Chern class of the contact bundle vanishes, there is a two dimensional subcone of Sasaki Ricci solitons in the Sasaki cone, and a unique Sasaki-Einstein metric in each of the two dimensional sub cones.

연구 동기 및 목표

• 고정된 컴팩트 Sasaki 다양체 위에서 일반화된 조인 구조를 이용해 새로운 명시적 Sasaki 계량의 상수 스칼라 곡률 (CSC)을 구성하는 것.
• Sasaki 콘 내에서의 변형을 통해 고정된 엄격한 피조컨벡스 CR 다양체 위에서 CSC 구조의 존재성과 다중성을 조사하는 것.
• Sasaki 설정으로의 해밀턴 2형식 형식의 확장으로, 오비폴드 기저 공간 위에서의 극값 및 CSC Kähler 계량을 생성하는 것.
• Sasaki-Ricci 솔리톤의 구조를 분석하고, 이와 Kähler-Ricci 솔리톤 사이의 관계를 조인 구조의 맥락에서 탐구하는 것.
• 고정된 CR 및 접촉 구조를 가진 다양체에서 Sasaki 콘 내의 CSC 광선이 유일하지 않음을 입증하는 것.

제안 방법

• 정규 Sasaki 다양체 $M$ 와 상대적으로 소수인 가중치 $w_1, w_2$를 가진 가중 Sasaki 3-구면체 $S^3_{\bf{w}}$ 사이의 Sasaki 조인 $M_{l_1,l_2,\bf{w}} = M \bowtie_{l_1,l_2} S^3_{\bf{w}}$ 를 구성한다.
• 기저 공간 $S_n = \mathbb{P}(\mathcal{O} \oplus L_n)$ 인 Kähler 오비폴드 기저 위에서 해밀턴 2형식 형식을 활용해 극값 Kähler 계량을 구성한다.
• 2차원 ${\bf w}$-Sasaki 콘 내에서 변형을 통해 전이 Kähler 기하학을 이용해 상수 스칼라 곡률을 갖는 Sasaki 계량을 도출한다.
• 극값 Sasaki 방정식을 $[-1,1]$ 간격 위의 2차 미분방정식으로 줄여내기 위해 적합한 구조 프레임워크를 적용한다.
• 전이 Kähler Ricci 솔리톤 방정식 $\rho^T - \lambda \omega^T = \pounds_V \omega^T$ 를 적용하여 Sasaki-Ricci 솔리톤의 존재를 증명한다.
• 스케일 불변성과 매개변수에 대한 연속적 의존성의 특성을 활용해, 기저가 Kähler-Einstein일 경우 ${\bf w}$-Sasaki 콘의 모든 광선에서 Sasaki-Ricci 솔리톤이 존재함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 조인 연산을 통해 기존의 Sasaki 계량으로부터 새로운 명시적 상수 스칼라 곡률(S)을 갖는 Sasaki 계량을 구성할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 조인 다양체의 Sasaki 콘은 동일한 기저 CR 및 접촉 다양체 위에서 다수의 서로 다른 CSC 광선을 포함하는가?
• RQ3 Kähler 오비폴드 기저 위에서의 해밀턴 2형식 형식이 어떻게 극값 및 CSC Sasaki 계량을 생성하는가?
• RQ4 Sasaki 조인 구조의 맥락에서 Sasaki-Ricci 솔리톤과 Kähler-Ricci 솔리톤 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 Sasaki 콘 내에서 Sasaki-Ricci 솔리톤의 2차원 부분콘은 언제 존재하며, 언제 Sasaki-Einstein 계량이 유일한가?

주요 결과

• 모든 상수 스칼라 곡률을 갖는 정규 Sasaki 다양체 $M$ 와 상대적으로 소수인 가중치 $w_1 > w_2 > 0$ 에 대해, ${\bf w}$-Sasaki 콘 내에 해당하는 광선이 상수 스칼라 곡률을 갖는 리프 벡터장이 존재한다.
• 기저 Kähler 다양체 $N$ 의 곡률 $s_N \geq 0$ 를 만족할 경우, 전체 ${\bf w}$-Sasaki 콘은 극값 Sasaki 계량으로 고갈된다.
• $s_N > 0$ 이고 $l_2$ 가 충분히 클 경우, ${\bf w}$-Sasaki 콘은 최소한 세 개의 서로 다른 CSC 광선을 포함하며, 이는 고정된 CR 다양체 위에서의 비유일성을 보여준다.
• 논문은 $S^2$ 위의 두 개의 $S^5$-_bundle에 대해 가산 무한 개의 서로 다른 접촉 구조를 구성하였으며, 각각 최소한 세 개의 CSC 광선을 갖는다.
• 기저 $N$ 이 양의 스칼라 곡률을 갖는 Kähler-Einstein일 경우, 전체 ${\bf w}$-Sasaki 콘은 Sasaki-Ricci 솔리톤의 2차원 부분콘을 포함하며, 각 광선은 Sasaki-Ricci 솔리톤 구조를 갖는다.
• Kähler-Einstein 기저 조건 하에서, 일반화된 적합한 구조 프레임워크를 Ricci 솔리톤 설정으로 확장함으로써, ${\bf w}$-Sasaki 콘의 모든 광선에서 Sasaki-Ricci 솔리톤의 존재가 증명된다.