[논문 리뷰] The saturation of exponents and the asymptotic fourth state of turbulence

Katepalli R. Sreenivasan, Victor Yakhot|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 19.

Climate variability and models인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 고레이놀즈수 난류에서 구조함수 스케일링 지수 ζₙ의 포화 현상에 대한 이론을 제안한다. 이는 큰 n에 대해 ζₙ이 일정한 값(약 7.32)에 수렴함을 보여주며, 이는 극단적이고 응집된, 지렁이 모양의 소용돌이 구조가 지배적임을 시사한다. 나비에-스토크스 방정식에 시간에 대해 가우시안 강성이 있는 경우에 대해 재규격화된 섭동 이론에서 유도된 정확한 ζₙ 표현식을 사용하여, 네 가지 난류 상태에서의 속도 증분의 확률밀도함수(PDFs)를 도출하였으며, 척도 분리가 붕괴되고 대규모 및 소규모 척도 간 강한 결합이 발생하는 점점 더 이상의 상태가 나타남을 규명하였다.

ABSTRACT

A recent discovery about the inertial range of homogeneous and isotropic turbulence is the saturation of the scaling exponents $ζ_n$ for large $n$, defined via structure functions of order $n$ as $S_{n}(r)=\overline{(δ_r u)^{n}}=A(n)r^{ζ_{n}}$. We focus on longitudinal structure functions for $δ_r u$ between two positions that are $r$ apart in the same direction. In a previous paper (Phys.\ Rev.\ Fluids 6, 104604, 2021), we developed a theory for $ζ_n$, which agrees with measurements for all $n$ for which reliable data are available, and shows saturation for large $n$. Here, we derive expressions for the probability density functions of $δ_r u$ for four different states of turbulence, including the asymptotic fourth state corresponding to the saturation of exponents for large $n$. This saturation means that the scale separation is violated in favor of a strongly-coupled quasi-ordered flow structures, which take the form of long and thin (worm-like) structures of length $L$ and thickness $l=O(L/Re)$.

연구 동기 및 목표

• 균일하고 등방성 난류의 고차 구조함수에서 비정상적 스케일링의 기원을 이해하기 위해.
• 스케일링 지수의 포화를 바탕으로 네 가지 난류 상태를 식별하고 특성화하기 위해, 특히 점점 더 이상의 상태를 중심으로.
• 모든 네 가지 난류 상태에서 속도 증분의 확률밀도함수(PDFs)에 대한 해석적 표현식을 유도하기 위해.
• 고레이놀즈수 난류에서 척도 분리와 국소 갈릴레이 불변성의 타당성을 도전하기 위해.
• 극단적 사건과 응집된 구조가 고차 모멘트에서 지배적이며, 전통적인 코모고로프 기반 모델이 성립하지 않음을 입증하기 위해.

제안 방법

• 시간에 대해 가우시안 강성이 있는 나비에-스토크스 방정식에 대해 재규격화된 섭동 이론을 사용하여 정확한 스케일링 지수 ζₙ를 유도한다.
• 스케일링 지수 ζₙ에서 속도 증분의 PDF를 복원하기 위해 메린 변환을 적용한다.
• ζ₂ₙ = 0.366n / (0.05n + 0.475) 식을 사용하여 큰 n에서의 ζₙ 포화를 모델링한다.
• 점점 더 이상의 상태를 n → ∞의 극한으로 식별하며, 이 경우 ζₙ → 7.32로 수렴하여 척도 분리의 상실을 시사한다.
• 효과적인 국소 레이놀즈 수 Rλ ≈ 8.8을 분석하여, 강한 상호작용으로 인해 섭동 이론이 붕괴됨을 보여준다.
• 점점 더 이상 상태는 길이 L과 두께 l ≈ L/Re인 길고 얇은 지렁이 모양의 소용돌이 구조로 지배되며, 이는 척도 분리가 없고 대규모 및 소규모 척도 간 강한 결합이 있음을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일하고 등방성 난류에서 고차 순서 n에서의 구조함수 스케일링 지수 ζₙ의 포화 현상은 무엇에 의해 발생하는가?
• RQ2 특히 점점 더 이상의 영역에서, 속도 증분의 확률밀도함수(PDFs)는 다양한 난류 상태에서 어떻게 변화하는가?
• RQ3 고레이놀즈수 난류에서 ζₙ의 포화 현상과 척도 분리의 붕괴를 뒷받침하는 물리적 구조는 무엇인가?
• RQ4 기존 코모고로프 이론은 왜 고차 모멘트에서 지배적인 극단적 사건을 설명하지 못하는가?
• RQ5 긴장하고 얇은 소용돌이 구조(지렁이 모양)는 관성 영역에서 통계적 독립성을 얼마나 대체하는가?

주요 결과

• 큰 n에 대해 스케일링 지수 ζₙ는 공식 ζ₂ₙ = 0.366n / (0.05n + 0.475)에 따라 약 7.32에 포화된다.
• 점점 더 이상의 상태는 ζₙ → 7.32로 수렴하는 보편적 극한으로서, 극단적 속도 변동 u_r ~ 1이 흔하게 발생함을 시사하며, 이는 척도 분리를 무효화한다.
• 점점 더 이상 상태에서 속도 증분의 확률밀도함수는 길이 L과 두께 l ≈ L/Re인 길고 얇은 지렁이 모양의 소용돌이 구조로 지배된다.
• 효과적인 국소 레이놀즈 수 Rλ ≈ 8.8로, 이는 섭동 이론이 붕괴되고 난류가 약한 상호작용이 아닌 강한 결합 상태임을 시사한다.
• 비율 Γ(n) = ζₙ⁴¹ / ζₙ ≈ 0.0455n + 0.864는 n ≥ 20에서 비정상성(간섭성)이 지배적이며, 코모고로프의 국소 독립성 가정이 성립하지 않음을 보여준다.
• 점점 더 이상 상태는 척도 분리 없이 대규모 및 소규모 척도 간 강한 결합이 있는 길고 스파aghetti 같은 빛의 소용돌이로 이루어진 가우시안 기체로 가장 잘 기술된다.