[논문 리뷰] The scattering matrix for 0th order pseudodifferential operators

Jian Wang|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 13.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비타수성 동역학 조건 하에 닫힌 표면 위의 0차 미분형 연산자에 대해 한계 흡수 원리를 확립하고, 유니터리 산란 행렬을 정의한다. 미세국소적 반경 추정을 통해 산란 행렬이 $P - \omega$의 이중특성선과 관련된 캐논리컬 관계를 갖는 0차 푸리에 적분 연산자임을 보이며, Colin de Verdière와 Saint-Raymond이 연구한 분層 유체 내부파동의 미세국소적 모형을 제공한다.

ABSTRACT

We use microlocal radial estimates to prove the full limiting absorption principle for $P$, a self-adjoint 0th order pseudodifferential operator satisfying hyperbolic dynamical assumptions as of Colin de Verdière and Saint-Raymond. We define the scattering matrix for $P-ω$ with generic $ω\in \mathbb R$ and show that the scattering matrix extends to a unitary operator on appropriate $L^2$ spaces. After conjugation with natural reference operators, the scattering matrix becomes a $0$th order Fourier integral operator with a canonical relation associated to the bicharacteristics of $P-ω$. The operator $P$ gives a microlocal model of internal waves in stratified fluids as illustrated in the paper of Colin de Verdière and Saint-Raymond.

연구 동기 및 목표

• 비타수성 동역학 조건 하에 자기수반 0차 미분형 연산자에 대해 전체적인 한계 흡수 원리를 확립하기 위해.
• 일반적인 $\omega \in \mathbb{R}$에 대해 $P - \omega$의 산란 행렬을 정의하고, 그 유니터리성을 증명하기 위해.
• $P - \omega$의 이중특성선과 관련된 산란 행렬의 미세국소적 구조를 0차 푸리에 적분 연산자로서 특성화하기 위해.
• 분층 유체 내부파동 역학에 대한 미세국소적 모형을 제공하기 위해, Colin de Verdière와 Saint-Raymond의 연구에 기반하여.

제안 방법

• 비타수성 동역학을 갖는 자기수반 0차 미분형 연산자 $P$에 대해, 미세국소적 반경 추정을 사용하여 한계 흡수 원리를 증명한다.
• 산란 행렬 $\mathbf{S}_\omega$를 $\mathbb{S}^1$ 위의 $\mathbb{C}^d$ 값의 매끄러운 함수 공간 간의 사상으로 정의하며, 여기서 $d$는 라그랑주 부분다양체 $\Lambda^\pm_\omega$의 연결 성분의 수이다.
• 해를 구하는 연산자 $H_{\omega,0}^\pm$를 $C^\infty(\mathbb{S}^1; \mathbb{C}^d)$에서 $\mathcal{D}^\pm(P,\omega)$로 사상하여, 역행렬성과 해의 분해를 보장한다.
• 고유공간 $\mathscr{A}(P,\omega)$를 제거하기 위해 $\Pi = I - u_0 \otimes u_0$를 적용하여 문제를 비자기수반 설정으로 환원하고, 표준 산란 이론이 적용 가능하도록 한다.
• 경계 쌍화 공식을 통해 산란 행렬 $\mathbf{S}_\omega$가 $L^2(\mathbb{S}^1; \mathbb{C}^d)$ 위의 유니터리 연산자로 확장됨을 증명한다.
• 산란 행렬이 $P - \omega$의 이중특성선 흐름에 의해 유도되는 캐논리컬 관계를 갖는 0차 푸리에 적분 연산자임을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비타수성 동역학을 갖는 0차 미분형 연산자에 대해 한계 흡수 원리를 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ2 만약 $\omega$가 임베디드 고유값이 아니면, $P - \omega$에 대한 산란 행렬의 구조는 어떠한가?
• RQ3 미세국소적 설정에서 산란 행렬은 $P - \omega$의 이중특성선 흐름과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 이 맥락에서 산란 행렬이 유니터리임을 어떻게 보일 수 있으며, 그 분석적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ5 이 연산자 모형은 분층 유체 내부파동 역학에 대해 어느 정도의 미세국소적 유사성 모델이 될 수 있는가?

주요 결과

• 산란 행렬 $\mathbf{S}_\omega$는 잘 정의되어 있으며 $L^2(\mathbb{S}^1; \mathbb{C}^d)$ 위의 유니터리 연산자로 확장되며, 산란 과정에서 에너지 보존을 보장한다.
• 해공간 $\mathcal{Z}(P,\omega)$는 $u = u^- + u^+$로 유일하게 분해되며, $u^\pm \in H_{\omega,0}^\pm(f^\pm)$를 만족하고, 산란 행렬은 $f^-$를 $f^+$로 매핑한다.
• $H_{\omega,0}^\pm$는 선형적이고 역행렬이 존재하므로, $\mathscr{D}'_{\perp}(P,\omega)$ 내의 $(P - \omega)u = 0$의 해를 매개변수화한다.
• 산란 행렬 $\mathbf{S}_\omega$는 $P - \omega$의 이중특성선 흐름에 의해 유도되는 캐논리컬 관계를 갖는 0차 푸리에 적분 연산자로 미세국소적으로 특성화된다.
• $\omega$가 $P$의 고유값이어도, $\Pi = I - u_0 \otimes u_0$를 통해 고유공간을 제거함으로써 문제의 해가 유지되며, 이로 인해 감소된 연산자 $P_\perp$는 $\omega_0$에서 고유값을 갖지 않게 된다.
• 부드러운 변형에 대해 산란 행렬의 미세국소적 구조는 유지되며, $P_\perp - P \in \Psi^{-\infty}(M)$ 이므로 이중특성선과 캐논리컬 관계는 그대로 유지된다.