[논문 리뷰] The scattering problem for the $abcd$ Boussinesq system in the energy space

Chulkwang Kwak, Claudio Muñoz외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 26.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 37인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 에너지 공간 $H^1 \times H^1$ 내에서 1차원 $abcd$ 보우신스끄 시스템의 소규모 해에 대해 충분히 산산각진 매개변수 영역에서 전역적 감쇠 및 산산각진 행동을 확립한다. 이전의 스칼라 모델에 기반한 세 가지 맞춤형 비르발 함수를 구성함으로써, 초기 데이터가 에너지 공간에서 작다는 조건만으로, 대칭성 또는 추가적인 감쇠 조건을 요구하지 않고 빛원뿔 내에서 국소적으로 강한 감쇠를 입증한다. $|x| \leq |t|$ 영역 내에서의 해가 전역적으로 감쇠됨을 보인다.

ABSTRACT

The Boussinesq $abcd$ system is a 4-parameter set of equations posed in $\mathbb{R}_t imes \mathbb{R}_x$, originally derived by Bona, Chen and Saut as first order 2-wave approximations of the incompressible and irrotational, two dimensional water wave equations in the shallow water wave regime, in the spirit of the original Boussinesq derivation. Among many particular regimes, depending each of them in terms of the value of the parameters $(a,b,c,d)$ present in the equations, the "generic" regime is characterized by the setting $b,d>0$ and $a,c<0$. The system is hamiltonian if also $b=d$. The equations in this regime are globally well-posed in the energy space $H^1 imes H^1$, provided one works with small solutions. In this paper, we investigate decay and the scattering problem in this regime, which is characterized as having (quadratic) long-range nonlinearities, very weak linear decay $O(t^{-1/3})$ because of the one dimensional setting, and existence of non scattering solutions (solitary waves). We prove, among other results, that for a sufficiently dispersive $abcd$ systems (characterized only in terms of parameters $a, b$ and $c$), all small solutions must decay to zero, locally strongly in the energy space, in proper subset of the light cone $|x|\leq |t|$. We prove this result by constructing three suitable virial functionals in the spirit of works by Kowalczyk, Martel and the second author, and more recently by the last three authors (valid for the simpler scalar "good Boussinesq" model), leading to global in time decay and control of all local $H^1 imes H^1$ terms. No parity nor extra decay assumptions are needed to prove decay, only small solutions in the energy space.

연구 동기 및 목표

• 에너지 공간 $H^1 \times H^1$ 내에서 소규모 $abcd$ 보우신스끄 해의 산산각진 및 감쇠 행동을 조사하는 것.
• 1차원에서의 이차 장거리 비선형성과 약한 선형 감쇠 $O(t^{-1/3})$로 인해 발생하는 도전 과제를 다루는 것.
• 초기 데이터에 대해 대칭성 또는 추가 감쇠 조건을 요구하지 않고 감쇠 및 산산각진을 확립하는 것.
• 에너지 공간 내에서 빛원뿔 $|x| \leq |t|$ 내에서 모든 소규모 해가 국소적으로 강하게 감쇠하는 매개변수 영역을 특성화하는 것.

제안 방법

• K. 왕 및 다른 이들의 작업을 영감으로 삼은 세 가지 새로운 비르발 함수를, 연립 $abcd$ 시스템에 적응시켜 구성하는 것.
• 해밀토니안 구조와 에너지 보존을 이용해 비르발 함수의 진화를 제어하는 것.
• 특성 다항식 $p(\mu)$를 통한 분산 성질 분석을 통해, 모든 $k \in \mathbb{R}$ 에서 $|w'(k)| > 0$ 가 성립하는 매개변수 영역을 규명함으로써 비퇴화성 보장.
• 스케일링을 통해 $b = d = 1$ 으로 단순화된 형태로 시스템을 축소함으로써 매개변수 공간의 분석을 명확히 하는 것.
• 주요 감쇠 결과가 성립하는 매개변수 $(a,b,c)$ 의 집합 $\mathcal{P}$ 를 정의하는 불등식들, 즉 $b > \frac{2}{9}$ 와 $\nu$ 의 유계 구간을 통한 기술.
• 매개변수 $\nu$ 와 $b$ 를 통한 대체 매개변수화를 통해 $\mathcal{P}_0(b)$ 를 기술하고, 이후 분산 조건 $\mathcal{B}_4(b)$ 와의 교차를 통해 허용 가능한 매개변수 영역 $\mathcal{P}(b)$ 를 정의하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 매개변수 조건에서 $abcd$ 보우신스끄 시스템이 에너지 공간 내에서 소규모 해에 대해 전역적 감쇠를 보이는가?
• RQ2 초기 데이터의 대칭성 또는 추가 공간 감쇠 조건 없이 감쇠를 확립할 수 있는가?
• RQ3 분산 관계는 시스템의 선형화된 운동의 비퇴화성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 비르발 함수는 어떻게 빛원뿔 내에서 국소적인 $H^1 \times H^1$ 노름을 제어하고 감쇠를 유도하는가?
• RQ5 주요 감쇠 결과가 성립하는 매개변수 집합 $\mathcal{P}$ 의 정확한 특성은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 충분히 산산각진 $abcd$ 시스템—특히 매개변수 집합 $\mathcal{P}$ 에 속하는 것들—에 대해 소규모 해는 영역 $|x| \leq |t|$ 내에서 에너지 공간 내에서 국소적으로 강하게 감쇠된다.
• 감쇠는 세 개의 철저히 구성된 비르발 함수를 통해 입증되며, 이는 모든 국소적 $H^1 \times H^1$ 노름을 시간에 걸쳐 전역적으로 제어한다.
• 매개변수 영역 $\mathcal{P}$ 는 $b > \frac{2}{9}$ 와 $\nu$ 의 유계 구간을 통해 특성화되며, 이는 분산 다항식 $p(\mu)$ 가 음이 아닌 실근을 가지지 않음을 보장한다.
• 결과는 초기 데이터에 대해 대칭성 또는 추가 감쇠 조건 없이도 성립하며, 에너지 공간 내에서의 소규모성 조건만을 기반으로 한다.
• 시스템의 해밀토니안 구조와 에너지 보존은 비르발 함수의 구성과 제어에 핵심적인 역할을 한다.
• 분석 결과, 식별된 매개변수 영역 하에서 특성 다항식 $p(\mu)$ 가 모든 $\mu \geq 0$ 에서 양수임을 확인하였으며, 이는 군속도 $w'(k)$ 의 도함수가 0이 되지 않음을 보장한다.