[논문 리뷰] The Schwinger Action Principle and the Feynman Path Integral for Quantum Mechanics in Curved Space

David J. Toms|ArXiv.org|2004. 11. 25.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 곡면 위 양자역학의 파동함수 경로적분 측도의 모호함을 스윙거 작용원리와의 일관성 조건을 요구함으로써 해결한다. 이는 측도가 자연스러운 부피 요소와 바운드-벨-모레트 행렬식의 단일 인자 모두를 포함해야 한다는 것을 보여주며, 이 선택은 슈뢰딩거 방정식에 대한 곡률에 의존하는 수정을 제거한다. 이는 확률적 미분방정식 접근법과 일치한다.

ABSTRACT

The Feynman path integral approach to quantum mechanics is examined in the case where the configuration space is curved. It is shown how the ambiguity that is present in the choice of path integral measure may be resolved if, in addition to general covariance, the path integral is also required to be consistent with the Schwinger action principle. On this basis it is argued that in addition to the natural volume element associated with the curved space, there should be a factor of the Van Vleck-Morette determinant present. This agrees with the conclusion of an approach based on the link between the path integral and stochastic differential equations.

연구 동기 및 목표

• 곡면 위 양자역학에 대한 경로적분 측도의 모호함을 해결하는 것.
• 일반 공변성 이상의 스윙거 작용원리와의 일관성 조건을 요구함으로써 유일한 측도를 확립하는 것.
• 바운드-벨-모레트 행렬식이 측도에 지수 p=1로 포함되어야 한다는 것을 보여주는 것.
• 이 선택이 곡률 보정을 명시적으로 포함하지 않는 슈뢰딩거 방정식을 유도한다는 것을 보여주는 것.
• 곡면에서 경로적분과 확률적 미분방정식 접근법의 결과를 통합하는 것.

제안 방법

• 작용과 동역학적 변수에 대한 변형에 대해 불변성을 요구하면서 스윙거 작용원리를 사용해 전이 진폭을 유도하는 것.
• 소스 항을 도입하고, 경로적분 표현을 사용해 작용과 소스에 따라 진폭을 유도하는 것.
• σ^i에서 q^i로의 변수 변경을 수행하며, 바운드-벨-모레트 행렬식을 포함한 자코비안 행렬식을 포함하는 것.
• 바운드-벨-모레트 행렬식 Δ(q_*,q)의 정의를 사용해 측도를 계량과 지오데식 거리의 두 번째 도함수로 표현하는 것.
• 좌표 변환에 대한 불변성을 강제로 적용하여 계수를 제약하고 최종 측도 형태를 도출하는 것.
• 최종적으로 유도된 경로적분 측도가 |g(q)|^{1/2}와 |Δ(q_*,q)|를 모두 포함하며, p=1임을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 공변성과 스윙거 작용원리 양자 모두와 일관된 곡면 위 양자역학에 대한 유일한 경로적분 측도는 무엇인가?
• RQ2 구성 공간이 곡면일 때 스윙거 작용원리는 경로적분에서 측도 선택을 어떻게 제약하는가?
• RQ3 왜 바운드-벨-모레트 행렬식이 경로적분 측도에 나타나며, 이 행렬식의 정확한 거듭제곱은 무엇인가?
• RQ4 지수 p=1로 바운드-벨-모레트 행렬식을 포함하는 것이 결과로 얻어지는 슈뢰딩거 방정식에서 곡률 보정을 제거하는가?
• RQ5 스윙거 작용원리 접근법은 경로적분 측도를 고정하는 데서 확률적 미분방정식 방법과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 경로적분 측도는 자연스러운 부피 요소 |g(q)|^{1/2}와 바운드-벨-모레트 행렬식 |Δ(q_*,q)|의 단일 인자를 모두 포함해야 한다.
• 스윙거 작용원리와의 일관성 조건을 요구함으로써 바운드-벨-모레트 행렬식의 지수는 p=1로 유일하게 결정된다.
• 이 선택은 명시적인 곡률 보정을 포함하지 않는 슈뢰딩거 방정식을 유도하며, WKB 및 확률적 접근법과 일치한다.
• 스윙거 작용원리로부터 유도된 전이 진폭은 |Δ(q_*,q)|를 포함한 전체 측도를 사용할 때에만 표준 경로적분 형태와 일치한다.
• |g(q_*)|^{-1/2}f(q_*)는 스칼라이므로 상수로 흠집을 내어 물리적 측도에 영향을 주지 않는다.
• 결과는 Ref. stochastic에서 다른 방법(스토케스틱 과정 기반)을 사용해 동일한 측도를 도출한 결론과 일치한다.