[논문 리뷰] The second moment theory of families of L-functions

Valentin Blomer, Étienne Fouvry외 4명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 04.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 56인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 고정된 최대형식에 대한 원시 딜리클레 특성에 의한 쌍곡형의 가족에서 중심 L-값의 첫 번째 및 두 번째 비틀린 모멘트에 대해 거듭제곱 절감 오차 항을 갖는 渐近 공식을 수립한다. 고전적 해석적 수론 도구—예를 들어 추적 함수, 클루스트르만 합, 리조네이터 방법—를 사용하여, 이러한 중심 L-값들 중 일부가 0이 아니며, 일부는 매우 크며, 높은 해석적 랭크를 가질 확률이 지수적으로 감소한다는 것을 증명한다. 이러한 결과는 L-함수 이론의 핵심 예측을 확인하고, 마줄과 루빈의 모듈러 기호에 대한 추측의 특수한 경우를 검증한다.

ABSTRACT

For a fairly general family of L-functions, we survey the known consequences of the existence of asymptotic formulas with power-sawing error term for the (twisted) first and second moments of the central values in the family. We then consider in detail the important special case of the family of twists of a fixed cusp form by primitive Dirichlet characters modulo a prime q, and prove that it satisfies such formulas. We derive arithmetic consequences: - a positive proportion of central values L(f x chi, 1/2) are non-zero, and indeed bounded from below; - there exist many characters chi for which the central L-value is very large; - the probability of a large analytic rank decays exponentially fast. We finally show how the second moment estimate establishes a special case of a conjecture of Mazur and Rubin concerning the distribution of modular symbols.

연구 동기 및 목표

• 가족의 L-함수에 대한 두 번째 모멘트 이론을 개발하며, 특히 고정된 최대형식의 비틀린 헤크 L-함수에 중점을 둔다.
• 소수 q 모듈로 원시 딜리클레 특성에 의한 비틀림 가족에서 중심 L-값의 첫 번째 및 두 번째 비틀린 모멘트에 대해 거듭제곱 절감 오차 항을 갖는 渐近 공식을 수립한다.
• 이러한 모멘트 추정에서 산술적 결과를 도출하며, 비영성 결과, 극값 경계, 해석적 랭크 통제를 포함한다.
• 두 번째 모멘트 추정을 이용해 마줄-루빈의 모듈러 기호 분포에 대한 추측의 특수한 경우를 검증한다.

제안 방법

• 비틀린 L-값 분석을 위해 추적 함수 및 그 멜린 변환 이론을 적용한다.
• 주어진 중심 L-값을 증폭하고 큰 값을 탐지하기 위해 정교하게 구성된 리조네이터 다항식을 사용하는 리조네이터 방법을 활용한다.
• 명시적 공식을 적용하여 L-함수의 모멘트를 산술 함수 및 추적 함수의 합과 연결한다.
• 이동된 콘볼루션 방법과 클루스트르만 합의 이항 합을 사용하여 모멘트 추정의 오차 항을 통제한다.
• 추적 함수의 균등 분포성과 멜린 변환의 균등 분포 군을 활용하여 진동하는 합을 다룬다.
• 주어진 주요 항을 분리하기 위해 정교하게 선택된 모리피케이션 기법을 사용하여 중심 L-값의 양의 비율 비영성 증명을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 q 모듈로 원시 딜리클레 특성에 의한 고정된 최대형식의 비틀림 가정에서 중심 L-값의 첫 번째 및 두 번째 비틀린 모멘트의 渐近 행동은 어떠한가?
• RQ2 중심 L-값 L(f ⊗ χ, 1/2) 중 양의 비율이 0이 아니며, 심지어 0으로부터 거리가 떨어져 있음을 증명할 수 있는가?
• RQ3 가정 내 개별 특성 χ에 대해 중심 L-값 L(f ⊗ χ, 1/2)는 얼마나 클 수 있는가?
• RQ4 해석적 랭크 rkan(f ⊗ χ)의 분포는 어떠한가? 큰 랭크일 확률은 얼마나 빨리 감소하는가?
• RQ5 두 번째 모멘트 추정은 마줄-루빈의 모듈러 기호 분포에 대한 추측의 특수한 경우를 암시하는가?

주요 결과

• 중심 L-값 L(f ⊗ χ, 1/2) 중 양의 비율이 0이 아니며, q에 대해 일관되게 0으로부터 떨어져 있으며, 이 비율은 q에 대해 일관되게 0에서 벗어나지 않는다.
• 중심 L-값 L(f ⊗ χ, 1/2)가 log q의 어떤 거듭제곱보다도 더 빠르게 증가하는 특성 χ가 존재한다.
• 해석적 랭크 rkan(f ⊗ χ)이 큰 정수 R을 초과할 확률은 R에 대해 지수적으로 감소하며, 어떤 c > 0에 대해 O(e^{-cR})의 속도로 감소한다.
• 두 번째 모멘트 추정은 비퇴화 조건 하에 추적 함수 t와 모듈러 기호의 상관 합 Cf(t)가 Cf(t) ≪ q^{-1/8 + ε} (모든 ε > 0에 대해)를 만족함을 암시한다.
• 논문은 마줄-루빈 추측의 특수한 경우를 검증한다: 특정한 추적 함수 t에 대해 상관 합 Cf(t)는 O(q^{-1/8 + ε})로 유계이며, 모듈러 기호 분포에서 예상되는 상쇄 효과를 확인한다.
• 특수한 경우(예: 쿠머 셰이브)에 대해서는 하위구분 추정을 통해 상관 합이 O(q^{-1/8 + ε})임을 보여주며, 모든 경우로 결과를 확장한다.