[논문 리뷰] The second quantization method for indistinguishable particles (Lecture Notes in Physics, UFABC 2010)

V. S. Shchesnovich|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 14.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates인용 수 4

한 줄 요약

이 강의 노트는 구분할 수 없는 입자를 위한 제2량자 형식을 제시하며, 생성 및 소멸 연산자, 포크 공간 구조, 그리고 보존과 페르미온에 대한 통계 연산자를 유도한다. 1차원 스핀 체인을 2차형식 페르미온 해밀토니안으로 매핑하기 위해 조르당-바이너 전환을 수립함으로써 정확한 대각화를 가능하게 하고, 약한 상호작용을 갖는 보즈 가스와 스핀 모형의 스펙트럼을 드러낸다.

ABSTRACT

Contents 1. Creation and annihilation operators for the system of indistinguishable particles 1.1 The permutation group and the states of a system of indistinguishable particles 1.2 Dimension of the Hilbert space of a system of indistinguishable particles 1.3 Definition and properties of the creation and annihilation operators 1.4 TheFockspace 1.5 The representations of state vectors and operators 1.5.1 N-particlewave-functions 1.5.2 The second-quantization representation of operators 1.5.3 Examples 1.6 Evolution of operators in the Heisenberg picture 1.7 Statistical operators of indistinguishable particles 1.7.1 The averages of the s-particle operators 1.7.2 The general structure of the one-particle statistical operator 2 Quadratic Hamiltonian and the diagonalization 2.1 Diagionalization of the Hamiltonian quadratic in the fermion operators 2.2 Diagionalization of the Hamiltonian quadratic in the boson operators 2.2.1 Diagonalization of the quadratic bosonic Hamiltonian possessing a zero mode 2.3 Long range order, condensation and the Bogoliubov spectrum of weakly interacting Bose gas 2.3.1 The excitation spectrum of weakly interacting Bose gas inabox 2.3.2 The excitation spectrum of an interacting Bose gas in an externalpotential 2.4 The Jordan-Wigner transformation: fermionization of interacting 1D spin chains

연구 동기 및 목표

• 구분할 수 없는 입자, 즉 보존과 페르미온을 포함한 시스템에 대한 엄밀한 제2량자 형식 프레임워크를 개발하기 위해.
• 치환군 대칭성에서 유도된 포크 공간의 구조와 생성 및 소멸 연산자의 성질을 유도하기 위해.
• 조르당-바이너 전환을 통해 1차원 체인의 스핀 연산자와 페르미온 연산자 간의 연결을 수립하기 위해.
• 특히 약한 상호작용을 갖는 보즈 가스와 XY 스핀 체인에 대해, 페르미온 및 보존 시스템에서 2차형식 해밀토니안의 대각화를 가능하게 하기 위해.
• 제2량자 형식에서 통계 연산자와 다체 관측량의 기대값을 체계적으로 계산하기 위한 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 일반화된 단일 입자 상태의 텐서곱을 사용하여 N개의 동일한 입자의 힐베르트 공간을 구성하고, 치환군 프로젝터를 통해 대칭(보존) 또는 반대칭(페르미온) 부분공간에 투영한다.
• 포크 상태에 대한 작용을 통해 생성 및 소멸 연산자를 정의하며, 치환군의 부호에서 유도된 올바른 교환 또는 반교환 관계를 보장한다.
• 포크 공간을 N-입자 힐베르트 공간의 직합으로 정의하며, 진공 상태에 생성 연산자가 작용하여 기저 상태를 구성한다.
• 생성 및 소멸 연산자의 정규순서 곱을 사용하여 s-입자 관측량을 제2량자 형식으로 표현한다.
• 이전의 스핀 z-성분 연산자들을 포함하는 스트링 연산자를 사용하여, 비국소적으로 스핀-1/2 연산자를 페르미온 연산자로 매핑하기 위해 조르당-바이너 전환을 적용한다.
• 특히 페르미온 시스템과 약한 상호작용을 갖는 보즈 가스에 대해 캐논ical 변환을 통해 2차형식 해밀토니안을 대각화함으로써 보고리우보프 스펙트럼을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군론 원리에 기반하여 구분할 수 없는 입자에 대해 생성 및 소멸 연산자를 어떻게 엄밀하게 정의할 수 있는가?
• RQ2 포크 공간의 구조는 무엇이며, 치환 대칭성을 갖는 N-입자 시스템의 힐베르트 공간과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 조르당-바이너 전환은 1차원 스핀-1/2 체인의 최근접 이웃 상호작용을 어떻게 2차형식 페르미온 해밀토니안으로 매핑하는가?
• RQ4 상자 안이나 외부 퍼텐셜에 놓인 약한 상호작용을 갖는 보즈 가스의 진동수 스펙트럼은 무엇이며, 장거리 질서와 응축과의 관계는 어떠한가?
• RQ5 제2량자 형식에서 통계 연산자와 s-입자 관측량의 기대값을 어떻게 체계적으로 구성할 수 있는가?

주요 결과

• N개의 동일한 보존 입자에 대한 힐베르트 공간 차원은 이항계수 $\binom{N + d - 1}{d - 1}$ 으로 주어지며, 페르미온의 경우 $\binom{d}{N}$ 으로 주어진다. 여기서 d는 단일 입자 상태의 수이다.
• 조르당-바이너 전환은 스핀 연산자 $\sigma^{(j)}_{\pm}$ 를 $a_j = \left(\prod_{l=1}^{j-1} \sigma_z^{(l)}\right) \sigma_+^{(j)}$ 를 통해 페르미온 연산자로 매핑함으로써 1차원 스핀 체인의 정확한 페르미온화를 가능하게 한다.
• XY 스핀 체인 해밀토니안은 2차형식 페르미온 해밀토니안으로 매핑되며, $\sigma_x^{(j)}\sigma_x^{(j+1)}$ 와 같은 항은 $ (a_j^\dagger + a_j)(a_{j+1}^\dagger + a_{j+1}) $ 로 변환되어 완전한 대각화가 가능하다.
• 상자 안의 약한 상호작용을 갖는 보즈 가스의 진동수 스펙트럼은 낮은 운동량에서 선형 분산 관계 $\omega_k \approx ck$ 를 보이며, 보고리우보프 준입자에 특징적인 것이다.
• 전환식 $\sigma_z^{(j)} = 1 - 2\hat{n}_j$ 와 $\sigma_+^{(j)} = \left[\prod_{l=1}^{j-1}(1 - 2\hat{n}_l)\right] a_j$ 는 올바른 스핀 대수와 페르미온 표현에서의 비국소성을 보장한다.
• 구분할 수 없는 입자 시스템의 통계 연산자는 밀도 행렬에서 구성되며, 한 입자 감소 밀도 행렬은 $\langle a_k^\dagger a_l \rangle$ 로 표현할 수 있다.