[논문 리뷰] The second variational formula of the k-energy and k-harmonic curves

Shun Maeta|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 22.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $k$-에너지 함수의 두 번째 변분 공식을 $k$-조화 매핑에 대해 유도하며, 인덱스, 노울리티, 약한 안정성의 개념을 도입한다. 일정 섹션 곡률을 가진 다양체로의 비자명한 $k$-조화 곡선을 구축하며, 구상에 대한 $3$-조화 곡선에 대한 명시적 상미분 방정식을 포함하고, 특정 곡률 조건 하에서 일정 기하 곡률 곡선이 $k$-조화임을 증명한다.

ABSTRACT

J.Eells and L. Lemaire introduced $k$-harmonic maps, and Wang Shaobo showed the first variation formula. In this paper, we give the second variation formula of $k$-energy, and give a notion of index, nullity and weakly stable. We also study $k$-harmonic maps into the product Riemannian manifold, and $k$-harmonic curves into a Riemannian manifold with constant sectional curvature, and show their non-trivial solutions.

연구 동기 및 목표

• $k$-조화 매핑에 대한 $k$-에너지 함수의 두 번째 변분 공식을 유도하기.
• $k$-조화 매핑에 대해 인덱스, 노울리티, 약한 안정성을 정의하고 분석하기.
• 제품 리만 다양체로의 $k$-조화 매핑을 연구하고, 감소 정리를 사용하여 문제를 단순화하기.
• 일정 섹션 곡률을 가진 리만 다양체로의 $k$-조화 곡선을 조사하고 비자명한 해를 규명하기.
• 구 $S^n$ 으로의 $3$-조화 곡선에 대한 상미분 방정식을 명시적으로 유도하기.

제안 방법

• 끌림보의 거칠은 라플라스 연산자 $\overline{\bigtriangleup}$ 와 당겨진 번들의 $\phi^{-1}TN$ 상에서의 곡률 항 $R^N$ 을 사용하여 $k$-에너지의 두 번째 변분 공식을 유도한다.
• 변분 벡터장 $V$ 를 적용하여 $\overline{\nabla}_{\partial_t}\overline{\bigtriangleup}^{s-1}\tau(F)$ 를 통해 두 번째 변분을 계산하며, 곡률 및 접속 항을 포함한다.
• 감소 정리를 사용하여 제품 다양체로의 $k$-조화 매핑이 각 성분에서의 $k$-조화 매핑으로 분해됨을 보인다.
• 일정 기하 곡률 $\kappa$ 를 가정하고 $k$-텐션 필드 방정식에 대입하여 $k$-조화 곡선을 분석한다.
• 반복된 공변 도함수 $\nabla_{\gamma'}^k \gamma^{(k)}$ 와 메트릭 내적 $g_{ij}$ 를 사용하여 $S^n$ 상의 $3$-조화 곡선에 대한 여섯 번째 차수 상미분 방정식을 도출한다.
• 구상에서의 항등식 $\nabla_{\gamma'}\gamma' = \gamma'' + \gamma$ 를 적용하여 고차 도함수를 $\gamma^{(k)}$ 와 내적 $g_{ij}$ 로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $k$-조화 매핑에 대한 $k$-에너지 함수의 두 번째 변분 공식은 무엇이며, 안정성과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 일정 섹션 곡률을 가진 리만 다양체에서 비자명한 $k$-조화 곡선이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 제품 다양체로의 $k$-조화 매핑은 개별 성분에서의 $k$-조화 매핑으로 감소시킬 수 있는가?
• RQ4 구 $S^n$ 으로의 $3$-조화 곡선을 지배하는 상미분 방정식은 무엇인가?
• RQ5 기하 곡률 $\kappa$ 가 어떤 값일 때, 일정 곡률 곡선이 공간 형태에서 $k$-조화가 되는가?

주요 결과

• 두 번째 변분 공식이 유도되어 $k$-조화 매핑에 대한 인덱스, 노울리티, 약한 안정성의 정의가 가능해졌다.
• 일정 섹션 곡률 $K \geq 0$ 를 가진 다양체에서, $2s$-조화 곡선의 경우 기하 곡률 $\kappa = \sqrt{(2s-1)K}$ 를 만족할 때 비자명한 $k$-조화 곡선이 존재한다.
• 일정 기하 곡률를 가진 $(2s+1)$-조화 곡선의 경우 조건 $\kappa = \sqrt{2sK}$ 가 성립하면 일정 곡률 다양체에서 $k$-조화가 된다.
• 구 $S^n$ 으로의 $3$-조화 곡선에 대한 상미분 방정식은 $-\gamma^{(6)} - 2\gamma^{(4)} - (2g_{13} + 3)\gamma'' + 4g_{23}\gamma' + (1 + 9g_{24} + 8g_{33})\gamma = 0$ 로 명시적으로 도출되었으며, 여기서 $g_{ij} = g_0(\gamma^{(i)}, \gamma^{(j)})$ 이다.
• 유도 과정은 $k$-조화 매핑이 $k \neq t$ 일 때 반드시 $t$-조화가 아니라는 것을 확인하여 $k$-조화 계층의 비자명성을 입증한다.